阿旗教育局信息网:f(x) = f(ax) 什么样的函数满足这样的关系

来源：百度文库编辑：查人人中国名人网时间：2024/04/30 03:37:31

f(x)=f(ax) (a是实数)

请达人在(-OO,-1)U{-1}U(-1,0)U{0}U(0,1)U{1}U(1,OO)范围内讨论

主要帮我看看当a>1和-1<a<0的情况。
(给我提示下思路也好，谢谢，谢谢！！）
已经知道的有：
a=1 时， f(x) = f(x) 恒等
a=0 时， f(x) = C
a=-1时， f(x) = f(-x) 是偶函数关系式

当a>1时
由f(x)向右推倒有 f(x)=f(ax)=f((a^2)*x)=……=f((a^n)*x)
同理向左推倒有 f(x)=f(a^(-1)*x)=……=f(a^(-n)*x)

能得到当 n->+OO时左侧出现lim(n->+OO时) ((a^(-n))*x)/((a^(-(n-1)))*x) = 1

同理当n->0时右侧的 lim(n->O时) ((a^n)*x)/(a^(n-1)*x) = 1

说明当a>1时 x->0和x->+OO时 f(x)无论x取何值都相等

那么 (0,+OO)之间的部分该怎么考虑呢？
对不起，第一次补充时没表达清楚
想问如果在(0,+OO)任取,比如x = 3，那么f(x)=f(3)也等于f(0)或f(OO)吗?0 而且f(0)与f(OO)会相等吗？

对如果上面的推导正确：
0<a<1可以证明，但a<0的情况仍无法设想，图像是不是在跳跃而且离原点越远频率越高？

020624补充：当a<0时 a^n 是关于x轴震荡的啊，不连续，肯定没导数的；

030601补充：我的补充问题还是没有答啊？

f(ax)就是把f(x)的图像以y轴为中心，沿x轴的方向缩小到1/a于原图像的大小。

那么什么图像可以以y轴为中心，沿x轴方向伸缩而形状不变呢？可能是f(x)=常数，或者是f(x)在x不等于0的情况下是常数，x=0的情况下取另外的值。

如果你已经证明了a>1的情况，那么取b=1/a不就可以证明0<b<1的情况了么？

有无穷多个
比较显然的，比如在a是有理数的时候，Direchlet函数是满足提议的（有理数函数为1，无理数函数为0）
处处不连续函数有解的
关于楼上几位用极限理论是不严格的，因为没有说过连续性

n -> +无穷大时：
1. -1<a<0时，a^n -> 0
2. a<-1时，a^(-n) -> 0
所以一样可以证明f(x)=f(0)的

对，另外连续性要有一些限制才能在方程两端同时取极限

关于a<0时a^n不连续的问题我想这里可以仅仅考虑自然数上的极限，可以将n分奇偶讨论

如果a是属于任意的常数，那么可以证明f(x)是连续的，进而可以证明f(x)是可导的，再由f(x)=f(ax)及复合函数求导法则，可以推导出f(x)=C，C为常数。

f(x)=C
是常数把

f(x) = f(ax) 什么样的函数满足这样的关系已知函数f(x)满足条件f(ax-1)=lg(x+2)/(x-3) .求f(x)的表达式，函数f(x)的定义域已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c ，曲线y=f(x) f(x)=ax+b是不是线性函数？函数f(x)=ax/(2x+3)满足f(f(x))=x,则常数a= 已知函数f(x)=ax*+bx+c,若f(0)=1,且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)= f(x)=-x^3+ax^2+b,若函数 f(x)在[0,2]上为增函数,x=2 是方程f(x)=0的一个根,求证:f(1)<=-2 函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)作x=h(t)的代换,则总不改变函数f(x)值域的代换是已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0)满足f(1-x)=f(1+x),则f(2^x)和f(3^2)的大小关系是设函数f(x)=|x-a|-ax,其中a>0,当0〈a《1时，求函数f(x)的最小值?