2017山东教师招聘统考:1×1+2×2+3×3....+n×n的通项公式的推导

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关于 1^2 + 2^2 + …… + n^2 = n×(n+1)×(2n+1)/6 的证明：

(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1

所以
(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1
n^3 - (n-1)^3 = 3(n-1)^2 + 3(n-1) + 1
(n-1)^3 - (n-2)^3 = 3(n-2)^2 + 3(n-2) + 1
............
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 +1

把以上n个等式的两边分别相加得到
(n+1)^3-1^3 =
3×(1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 3×(1+2+3+……+n) + n个1的和

(n+1)^3-1 = 3×(1^2+2^2+...+n^2) + 3×n×(n+1)/2 + n

所以
3(1^2+2^2+......+n^3)
= n^3 + 3n^2 + 3n - 3n(n+1)/2 - n
= n(n^2+3n+2) - 3n(n+1)/2
= n(n+1)(n+2)-3n(n+1)/2
= n(n+1)(2n+1)/2

最后
1^2+2^2+......+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6.

"1^n+2^n+3^n......+m^n=? 1^n+2^n+3^n......+m^n= x=n*(n+1)*(n+2)*(n+3)....... n/(n-2)+n/(n-3)+n/(n-4)+n/(n-5)+...+2/(-1)=? 求1N、2N、3N ……..100N.2055N，这101个力的合力最小值 1*1+2*2+3*3........+n*n=n(n+1)(2n+1)/6如何证明 1*n+2(n-1)+3*(n-2)+......+(n-1)*2+1*n 当自然数N的各位数分别为0、1、2、3......9时，N^ 2 N^3 N^4 N^5的各位数各是多少? 1的n次方+2的n （1*2*4+2*4*8...+n*2n*4n/1*3*9+2*6*18+n*3n*9n)的平方