查人人中国名人网中国十大最有良心国漫:数学题目不会。。。求助
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/05/04 05:50:36
已知x,y是实数且x+y=4,求证x2+y2≥8.
X=4-Y
(4-y)2 +y2=16-8y+y2+y2=2(y2-4y+8)=2((y-2)2+4)=2(y-2)2 +8≥8
X2+Y2=X2+(4-Y)2
=2[(X-2)2+4]
≥2*4=8
因为x+y=4
由基本不等式子得 x+y≥2根号（xy)
即xy≤(（x+y）/2)^2=4
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
(x+y)^2-2xy≥4^2-2*4=8
所以x2+y2≥8
解:
要证明 X2+Y2≥8
由X+Y=4得 X2+Y2+2XY=16
X2+Y2=16-2XY
只需要证明16-2XY≥8即 4≥XY即可.
由均值不等式知:X+Y≥2倍根号下XY (当且仅当X=Y时取等号)
则:4≥2倍根号下XY
2≥根号下XY
不等式两边同时平方得:
4≥XY
固,命题得证.