查人人中国名人网爆裂飞车名字和图片:求证数学题
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/05/02 09:55:03
1)求证f(x)=sinx+cos√2x为非周期函数;
2)函数f(x)=x-εsinx(0<ε<1)是否有反函数?
3)设f(x)在实轴上定义,若f[f(x)]有且仅有两个不动点a、b(a≠b),那么只存在两种情况:
(1)a和b都是f的不动点;
(2)f(a)=b,f(b)=a.
帮帮忙!不胜感激!!!!!!!!!!!!!!
2)函数f(x)=x-εsinx(0<ε<1)是否有反函数?
3)设f(x)在实轴上定义,若f[f(x)]有且仅有两个不动点a、b(a≠b),那么只存在两种情况:
(1)a和b都是f的不动点;
(2)f(a)=b,f(b)=a.
帮帮忙!不胜感激!!!!!!!!!!!!!!
阮元元同志，你怎么都不知道呀，前言里说，至少要做一半的题哪！
义务提示你一下：
1)假设f(x)有周期T，则必然有sinT=0，cos√2T=1——(用x=0与x=T代入周期的定义f(x)=f(x+T))从而得到√2=k1/k2
2)证明f(x2)=f(x1)一定有x2=x1，也就是证明f(x)是一一对应
3)设f(a)=x，f(b)=y，由于a与b不等，则x与y不等。于是f(x)=f[f(a)]=a，f(y)=f[f(b)]=b，所以f[f(x)]=f(a)=x，f[f(y)]=f(b)=y，也就是说，x和y也是不动点。所以要么x=a,y=b要么y=a,x=b
1、Sin x的基本周期为2Pi，Cos√2x的基本周期为√2*Pi，由于√2是无理数，从而两周期之比为无理数，于是没有公共周期。
2、无疑f(x)是连续函数。注意到连续函数有反函数的充分必要条件是它严格单调，只要看f(x)的单调性。而计算其导数知
f'(x) = 1 - ε * Cos x > 0
从而f(x)严格单调上升，有反函数。
3、只要证不存在其他情况。若不然，则存在p, q，使得
f(a) = p ≠ a, b
f(b) = q ≠ a, b
于是有
p = f(a) = f(f(f(a))) = f(f(p))
q = f(b) = f(f(f(b))) = f(f(q))
所以p, q（相异于a, b）也是f(f(x))的两个不动点，这与题设“f(f(x))有且仅有两个不动点a、b(a≠b)”矛盾。
证毕。