关羽觉醒技巧:一道高中数学竞赛题...急!!!

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2.3 多元线性回归
当变量Y的影响因素有多个而不止一个时，可以建立多元线性回归模型：
Y=β0 +β1X1 +β2X2+…+βkXk+ε
利用变量Y与X的n组样本数据，按照一定准则，可求得β0 ，β1，β2，…βk的估计值b0, b1,…, bk,建立起样本回归模型：
Y=b0 +b1X1 +b2X2+…+bkXk+ε
例 假设有一个造纸厂的会计部门在估计工厂每月的管理费时，用工人的劳动日数与机器的开工台数作为自变量，用这两个因素对管理费用进行估计。10个月的数据如下表。
-----------------------------------------------------
月份 劳动日数 机器开工 管理费用
X1 台日数X2 Y
--------------------------------------------------
1 45 16 29
2 42 14 24
3 44 15 27
4 45 13 25
5 43 13 26
6 46 14 28
7 44 16 30
8 45 16 28
9 44 15 28
10 43 15 27
------------------------------------------------------------------------
回归方程： Y=b0 +b1X1 +b2X2
将数据代入方程： 29= b0 +45b1 +16b2
24= b0 +42b1 +14b2
27= b0 +44b1 +15b2
25= b0 +45b1 +13b2
26= b0 +43b1 +13b2
28= b0 +46b1 +14b2
30= b0 +44b1 +16b2
28= b0 +45b1 +16b2
28= b0 +44b1 +15b2
27= b0 +43b1 +15b2
要选择三个参数b0，b1，b2同时满足这10个方程是不可能的，因此我们想办法找b0，b1，b2使这些方程尽可能满足，令：
Q=（29—b0—45b1—16b2）2+（24—b0—42b1—14b2）2+（27—b0—44b1—15b2）2+（25—b0—45b1—13b2）2+（25—b0—45b1—13b2）2+（26—b0—43b1—13b2）2+（28—b0—46b1—14b2）2+。。。。。。
或： Q=（y1—b0—b1X11—b2X21）2 +（y2—b0—b1X12—b2X22）2+（y3—b0—b1X13—b2X23）2+（y4—b0—b1X14—b2X24）2+（y5—b0—b1X15—b2X25）2+（y6—b0—b1X16—b2X26）2+（y7—b0—b1X17—b2X27）2+。。。+（y10—b0—b1X1，10—b2X2，10）2

Q= yk—b0—b1X1k—b2X2k）2
= yk—b0—b1X1k—b2X2k）=0,
= yk—b0—b1X1k—b2X2k）=0,
= yk—b0—b1X1k—b2X2k）=0,
或： =nb0+b1 +b2
=b0 +b1 +b2
=b0 + b1 +b2
将表的数据代入方程得：
272=10b0+441b1+14b2
12005=441b0+19461b1+6485b2
4013=147b0+6485b1+2173b2
用求解线性代数方程组的方法求得：
b0=-13.8196, b1=0.56366, b2=1.09947
Y= -13.8196 + 0.56366X1 + 1.09947X2

第三章 时间序列分析
3．1 时间序列的分析指标
让我们来看下列序列：
例1：1931年—1943年某商店灯具销售额
1931年 1932年 1933年 1934年 1935年 1936年 1937年
1266 1225 1116 1218 1446 1775 2014

1938年 1939年 1940年 1941年 1942年 1943年
1584 1982 2171 2661 2853 3186 （千美元）

例2：重庆地区用电量时间序列：（单位：兆瓦）
1991年 1992年 1993年 1994年 1995年 1996年 1997年 1998年
85．52 99.62 116.6 122.1 133.1 148.0 165.1 192.1

又如：某农场逐月的鸡蛋产量，国家逐年投放到市场上的货币量。
我们把按一定时间顺序对某种现象进行观察并记录下来的统计指标数据，或者更广泛地，按时间顺序排列成的离散型观测数据序列X1, X2, …,Xt,…,称为时间序列。 按定义，时间数列有两个相联系的要素构成：一是现象所属的时间；另一个是与某个时间相联系的统计指标数值。把表示动态性的时间因素和表现经济现象的统计指标排列在一起，就构成了表现社会经济管理现象动态发展趋势、发展规律的一种统计的有力武器。
3．1．1 发展水平和平均发展水平
（一）发展水平：时间序列中的每一项具体的统计指标数值，说明社会经济现象在某个时期或时点上所达到的程度和规模，我们称为发展水平。时间序列的第一项指标值叫最初水平，最后一项指标值叫最末水平，中间的各项指标值叫中间发展水平。一般用下列符号表示：
a0, a1, a2, a3, …, an-1, an .
a0是最初水平, an是最末水平， a1, a2, a3, …, an-1, 为中间发展水平。.
在分析研究某发展水平时，常和另一时间的发展水平相对比，作为比较基础时期的水平，叫基期水平；所分析研究的时期叫做计算期水平或报告期水平。例如，时间数列：
------------------------------------------------------------------------------------------------
年份 1991 1992 1993 1994 1995
木材产量 5807 6174 6390 6615 6767
-------------------------------------------------------------------------------------------------
其中5807是最初水平，6767为最末水平，其余为中间水平。
（二）平均发展水平：也称序时平均数。序时平均数和一般平均数的区别在于：一般平均数是将总体各单位在同一时间的数量差异抽象化，是一个根据变量数列计算的静态平均数；序时平均数是将同一总体在不同时间的数量差异抽象化，是根据时间数列计算的动态平均数。
1．时期数列的序时平均数：同一时期数列中各项指标值所属时期的长短相等，可以直接将各项指标值相加除以项数，用简单算数平均法计算序时平均数。计算公式为：

其中， 表示平均发展水平，ai表示各时期的发展水平（i=1,2,…,n）, n表示时期项数。
如上表，我国“八五”期间的木材平均产量为：
=6350.6万立方米
2．由时点数列计算平均发展水平：
当整个研究期的各个时点数据齐备时，也可采用

来计算, 如利用1989年10月份各日的工人人数，求10月份的平均工人数；某商店利用8月份每日的商品的库存额，计算该月商品平均库存额等。因为此时实际上可以看成时期数列。
若时点资料不齐备，由间断的时点数列构成，但时点的时间间隔相等。在这种情况下，假定指标值在两个相邻点之间的变动是均匀的，即可用两时点间的均值来代表两时点间隔内的一般水平：

=
例7．1 某工厂职工人数资料如表7.1，计算第二季度的平均职工数。
第二季度职工人数
-------------------------------------------------------------------------------------------
4月1日 5月1日 6月1日 7月1日
2040 2035 2045 2058
-------------------------------------------------------------------------------------------
解：假定指标值在两个相邻点之间的变动是均匀的，于是：
=2043（人）
若时点资料不齐备，由间断的时点数列构成，但时点的时间间隔不相等，则需以时间间隔长度f为权数，采用下列公式计算序时平均数

例7.2 某商店1988年商品库存额资料如表7.2，例7.3 试计算全年平均库存额：
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
时间： 1月1日 3月31日 5月31日 9月30日 12月31日
库存额： 5.2 3.6 3.0 4.2 5.6
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
解：假定在两时点之间的商品库存额是均匀变动的，于是两点间的库存额可以用两点库存额的平均值来代替两点间每一点的值。由于时点数据资料的时间间隔不等，所以用时间间隔作为权数，年平均库存额为：
=4.075
故该商店1988年商品平均库存额为4.075万元。
3．1．2 发展速度和平均发展速度
发展速度是反映社会经济现象在一定时期内发展方向和程度的指标，由报告期的发展水平和基期发展水平之比来计算，说明报告期发展水平达到基期发展水平的若干倍或百分之几，通常用倍数或百分数来表示。其计算公式为：
发展速度=
发展速度大于百分之百，表示发展水平上升，发展速度小于百分之百，表示发展水平下降。
根据采用基期不同，发展速度分为定基发展速度和环比发展速度。定基发展速度，是报告期发展水平同某一固定基期发展水平之比，表明现象在较长时期内总的发展方向和变化程度，因此也称总发展速度。其计算公式为：
定基发展速度=
环比发展速度是报告期发展水平同前一期发展水平之比，反映了某种社会经济现象的逐期发展方向和变化程度。其计算公式为：
环比发展速度=
例如, 表7.3是某企业1984--1988年工业生产的发展情况,
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1984年 1985年 1986年 1987年 1988年
工业总产值 677 732 757 779 819
(1970年不变价格) a0 a1 a2 a3 a4
定基发展速度(%) 108.12 111.82 115.07 120.97
环比发展速度(%) 108.12 103.42 102.91 105.13
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由表中可以看出，定基发展速度和环比发展速度分别说明不同的问题。
定基发展速度和环比发展速度的关系是：定基发展速度等于相应的各个环比发展速度的连乘积。