罗哲凡:函数y=x^2/2Sqr(x^2+1)的最小值为多少?

来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/05/09 06:49:34
请列出详细过程

正确答案是:0

主要是运用复合函数的单调性的知识.
首先要求出原函数的定义域R
接着把原函数化为y=x^2/2Sqr(x^2+1)=[Sqr(x^2+1)-1/Sqr(x^2+1)]/2
令t=Sqr(x^2+1),则y=(t-1/t)/2

首先考虑t=Sqr(x^2+1)的单调性
令u=x^2+1,则t=Sqr(u)
对于u=x^2+1,在(负无穷大,0]上单调递减,[0,正无穷大)上单调递增,
而t=Sqr(u)在R上单调递增,
所以t=Sqr(x^2+1)在(负无穷大,0]上单调递减,[0,正无穷大)上单调递增,
又因为y=(t-1/t)/2在R上单调递增(应用单调性定义可以证明)
因此
y=x^2/2Sqr(x^2+1)在(负无穷大,0]上单调递减,[0,正无穷大)上单调递增,
这样当X=0时,函数y=x^2/2Sqr(x^2+1)取到最小值,为0

sqr是什么啊 有什么条件吗>?

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