查人人中国名人网csol星陨巨锤和谐:杨世明猜想的简证
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/04/29 12:53:54
杨世明猜想的简证
545200 广西柳城县实验中学 梁卷明
杨世明先生猜想[1]：不存在自交数为4的Z5和自交数为13的Z7。
姚勇证明了[2]：不存在自交数为(n2-3n-2)/2的Zn（n≥5且为整数），这是杨世明猜想的一般化.
事实上，若n≥5且为偶数，则最大自交数θ0（n）=(n2-4n+2)/2＜(n2-3n-2)/2故上述结论显然成立。若n≥5且为奇数，我们有:
定理 n≥5且为奇数，则不存在自交数为θ0（n）-1的Zn，其中θ0（n）= n(n-3)/2.
证明 由于当n≥5且为奇数的Zn=A1A2…An的边两两相交时，其自交数才达到最大值θ0（n）= n(n-3)/2，故若假设θ（Zn）=θ0（n）-1，则Zn必有且仅有两条边不相交①，我们可将Zn的顶点的下标重新编号，使不相交的两边为A1An与AkAk+1，且使边A1An在直线AkAk+1的某一侧，又由于Zn的其余各边与边AkAk+1都相交，故易知Zn的下标为偶数的顶点必在直线AkAk+1的另一侧，从而边A1An必与边Ak-1Ak（当k-1为偶数时）或边Ak+1Ak+2（当k+2为偶数时）也不相交，这与①矛盾，于是定理得证。证毕！
参考文献
1 杨之.双折数\自交数与环数.中学数学,1999,8
2 姚勇.关于闭折线自交数一个猜想的证明. 中学数学教学参考,2000,12
3 梁卷明.n边闭折线最大自交数公式的简证.中学数学教学参考,2002,6
原载《中学数学》（湖北）2003年第4期
请问证明可否进一步简化？
545200 广西柳城县实验中学 梁卷明
杨世明先生猜想[1]：不存在自交数为4的Z5和自交数为13的Z7。
姚勇证明了[2]：不存在自交数为(n2-3n-2)/2的Zn（n≥5且为整数），这是杨世明猜想的一般化.
事实上，若n≥5且为偶数，则最大自交数θ0（n）=(n2-4n+2)/2＜(n2-3n-2)/2故上述结论显然成立。若n≥5且为奇数，我们有:
定理 n≥5且为奇数，则不存在自交数为θ0（n）-1的Zn，其中θ0（n）= n(n-3)/2.
证明 由于当n≥5且为奇数的Zn=A1A2…An的边两两相交时，其自交数才达到最大值θ0（n）= n(n-3)/2，故若假设θ（Zn）=θ0（n）-1，则Zn必有且仅有两条边不相交①，我们可将Zn的顶点的下标重新编号，使不相交的两边为A1An与AkAk+1，且使边A1An在直线AkAk+1的某一侧，又由于Zn的其余各边与边AkAk+1都相交，故易知Zn的下标为偶数的顶点必在直线AkAk+1的另一侧，从而边A1An必与边Ak-1Ak（当k-1为偶数时）或边Ak+1Ak+2（当k+2为偶数时）也不相交，这与①矛盾，于是定理得证。证毕！
参考文献
1 杨之.双折数\自交数与环数.中学数学,1999,8
2 姚勇.关于闭折线自交数一个猜想的证明. 中学数学教学参考,2000,12
3 梁卷明.n边闭折线最大自交数公式的简证.中学数学教学参考,2002,6
原载《中学数学》（湖北）2003年第4期
请问证明可否进一步简化？
很好很好！！
这证明我是挑不出毛病。真是个有趣的问题！