通灵王之:求救：高中数学题

A:由b2-4ac=8-4m>=0得m<=2
B:由b2-4ac=4-4m<0得m>1
所以A ∩B=(1,2]
A∪B=R

A集合:由b2-4ac=8-4m>=0得m<=2
B集合:由b2-4ac=4-4m<0得m>1
所以A ∩B={m|1<m<=2,m∈R}
A∪B={m|m>1,m∈R}

8-4m大于等于0
4-4m小于0
m小于等于2，大于1

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

集合

二. 本周主要知识点拨

本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。

本 章 知 识 结 构

1、集合的概念

集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。

对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。

整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。

确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。

不同的――集合元素的互异性。

2、有限集、无限集、空集的意义

有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。

我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。

几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。

3、集合的表示方法

（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：

①元素不太多的有限集，如{0，1，8}

②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，…，100}

③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，…，n，…}

●注意a与{a}的区别

●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。

（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}， {y|y＝x2}， {（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。

4、集合之间的关系

●注意区分“从属”关系与“包含”关系

“从属”关系是元素与集合之间的关系。

“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“ ”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。

●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。

5、集合的运算

集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。

一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质：

还要尝试利用Venn图解决相关问题。

【典型例题】

例1. 已知集合 ，若 ，求a。

解： 根据集合元素的确定性，得：
若a＋2＝1， 得: ， 但此时 ，不符合集合元素的互异性。

若 ，得： 。但 时， ，不符合集合元素的互异性。

若 得：
，都不符合集合元素的互异性。

综上可得，a ＝ 0。

【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。

例2. 已知集合M＝ 中只含有一个元素，求a的值。

解：集合M中只含有一个元素，也就意味着方程 只有一个解。

（1） ，只有一个解
（2）
.

综上所述，可知a的值为a＝0或a＝1

【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外多体会知识转化的方法。

例3. 已知集合 且B A，求a的值。

解：由已知，得：A＝{－3，2}， 若B A，则B＝Φ，或{－3}，或{2}。

若B＝Φ，即方程ax＋1＝0无解，得a＝0。

若B＝{－3}， 即方程ax＋1＝0的解是x ＝ －3， 得a ＝ 。

若 B＝{2}， 即方程ax＋1＝0的解是x ＝ 2， 得a ＝ 。

综上所述，可知a的值为a＝0或a＝ ，或a ＝ 。

【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。

例4. 已知方程 有两个不相等的实根x1， x2. 设C＝{x1， x2}， A＝{1，3，5，7，9}， B＝{1，4，7，10}，若 ，试求b， c的值。

解：由 ， 那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2个。

又因为 ，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是C＝{4，10}

因此，b＝－（x1＋x2 ）＝－14，c＝x1 x2 ＝40

【小结】对 的含义的理解是本题的关键。

例5. 设集合 ，

（1）若 ， 求m的范围；

（2）若 ， 求m的范围。

解：（1）若 ，则B＝Φ，或m＋1>5，或2m－1<－2

当B＝Φ时，m＋1>2m－1，得：m<2

当m＋1>5时，m＋1≤2m－1，得：m>4

当2m－1<－2时，m＋1≤2m－1，得：m∈Φ

综上所述，可知m<2， 或m>4

（2）若 ， 则B A，

若B＝Φ，得m<2

若B ≠ Φ，则 ，得：
综上，得 m ≤ 3

【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。

例6. 已知A＝{0，1}， B＝{x|x A}，用列举法表示集合B，并指出集合A与B的关系。

解：因为x A，所以x ＝ Φ， 或x ＝ {0}， 或x ＝ {1}， 或x ＝ A，

于是集合B ＝ { Φ， {0}， {1}， A}， 从而 A∈B

【模拟试题】

1. 设集合M＝ 则（ ）

A. B. C. a ＝ M D. a > M

2. 有下列命题：① 是空集 ② 若 ，则 ③ 集合 有两个元素 ④ 集合 为无限集，其中正确命题的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

3. 下列集合中，表示同一集合的是（ ）

A. M＝{（3，2）} ， N＝{（2，3）}

B. M＝{3，2} ， N＝{（2，3）}

C. M＝{（x，y）|x＋y＝1}， N＝{y|x＋y＝1}

D.M＝{1，2}， N＝{2，1}

4. 设集合 ，若 ， 则a的取值集合是（ ）

A. B. {－3} C. D. {－3，2}

5. 设集合A ＝ {x| 1 < x < 2}， B ＝ {x| x < a}， 且 ， 则实数a的范围是（ ）

A. B. C. D.
6. 设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}， B＝ ， 则集合A，B的关系是（ ）

A. A B B. B A C. A＝B D. A B

7. 已知M＝{x|y＝x2－1} ， N＝{y|y＝x2－1}， 那么M∩N＝（ ）

A. Φ B. M C. N D. R

8. 已知A ＝ {－2，－1，0，1}， B ＝ {x|x＝|y|，y∈A}， 则集合B＝_________________

9. 若 ，则a的值为_____

10. 若{1，2，3} A {1，2，3，4，5}， 则A＝____________

11. 已知M＝{2，a，b}， N＝{2a，2，b2}，且M＝N表示相同的集合，求a，b的值

12. 已知集合 求实数p的范围。

13. 已知 ，且A，B满足下列三个条件：① ② ③ Φ ，求实数a的值。

【试题答案】

1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. C

8. {0，1，2}

9. 2，或3

10. {1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5}

11. 解：依题意，得： 或 ，解得： ，或 ，或
结合集合元素的互异性，得 或 。

12. 解：B＝{x|x<－1， 或x>2}

① 若A ＝ Φ，即 ，满足A B，此时
② 若 ，要使A B，须使大根 或小根 （舍），解得：
所以
13. 解：由已知条件求得B＝{2，3}，由 ，知A B。

而由 ①知 ，所以A B。

又因为Φ ，故A≠Φ，从而A＝{2}或{3}。

当A＝{2}时，将x＝2代入 ，得
经检验，当a＝ －3时，A＝{2， － 5}; 当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。

当A ＝ {3}时，将x＝3代入 ，得

经检验，当a＝ －2时，A＝{3， － 5}; 当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。

综上所述，不存在实数a使集合A， B满足已知条件。

【励志故事】

黑暗启示录

一个书生在翻越一座山时，遭遇了一个拦路抢劫的山匪。书生立即逃跑，但山匪穷追不舍，走投无路时，书生钻进了一个山洞里，山匪也追进山洞里。在洞的深处，书生未能逃过山匪的追逐，黑暗中，他被山匪逮住了，遭到一顿毒打，身上的所有钱财，包括一把准备为夜间照明用的火把，都被山匪掳去了，幸好山匪并没有要他的命。之后，两个人各自寻找着洞的出口，这山洞极深极黑，且洞中有洞，纵横交错。

山匪将抢来的火把点燃，他能看清脚下的石块，能看清周围的石壁，因而他不会碰壁，不会被石块绊倒，但是，他走来走去，就是走不出这个洞，最终，他力竭而死。

书生失去了火把，没有了照明，他在黑暗中摸索行走得十分艰辛，他不时碰壁，不时被石块绊倒，跌得鼻青脸肿，但是，正因为他置身于一片黑暗之中，所以他的眼睛能够敏锐地感受到洞里透进来的微光，他迎着这缕微光摸索爬行，最终逃离了山洞。

世间大多如此，许多身处黑暗的人，磕磕绊绊，最终走向了成功；而另一些人往往被眼前的光明迷失了前进的方向。