梦见铁剑:有关高一的数学题！急

历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用．
　　（一）
　　??马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽．
　　??自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源．
　　（二）
　　??早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义．
　　??1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx.
　　??当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．
　　??18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延．
　　（三）
　　??函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究．
　　??后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步．”
　　??在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式．1822年，他在名著《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是，任意一个以2π为周期函数，在〔－π，π〕区间内，可以由
　　?表示出，其中
　　??富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动．原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍．
　　??通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义．
　　??1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分．
　　??1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的每一值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数．”
　　??根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：

　　f（x）= 1???（x为有理数），
　　0???（x为无理数）．

　　??在这个函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则f（x）忽0忽1．在无论怎样小的区间里，f（x）无限止地忽0忽1．因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍是一个函数．
　　??狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义．
　　（四）
　　??生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20年代，人类开始研究微观物理现象．1930年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数，

　　即?ρ（x）＝ 0，x≠0，
　　∞,x=0．
　　且
　　??δ-函数的出现，引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“∞”作为数．另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的．然而，δ-函数确实是实际模型的抽象．例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力．从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点x=0处的压强是
　　??P（0）=压力／接触面=1／0=∞．
　　??其余点x≠0处，因无压力，故无压强，即?P（x）=0.另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即
　　?函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）.元素x称为自变元，元素y称为因变元．
　　??函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系．
　　??函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”．
　　??设集合X、Y，我们定义X与Y的积集X×Y为
　　??X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．
　　??积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系，若（x,y）∈R，则称x与y有关系R，记为xRy.若（x,y）R，则称x与y无关系．
　　??现设f是X与Y的关系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么称f为X到Y的函数．在此定义中，已在形式上回避了“对应”的术语，全部使用集合论的语言了．
　　??从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．

函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．

记作： y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．

注意：

1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．

2． 构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

3．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示

这都是我们高一所学的函数！！

一、三角函数的起源

三角学的概念起源甚早，在古文献「莱因德纸草书」出土后证据显示古埃及人己有实用三角学的粗略概念，来保持金字塔每边都有相同的斜度，只是当时并没有使用余切这个名词而已。至西元前150年至100年间，希腊人热衷天文学，开始研究三角学，於是三角学渐渐有了雏形。

后来印度人吸收了希腊人在三角学方面的知识，再加以改进，也把它当成研究天文学的利器。长久以来，三角学就这样依附著天文学发展，直到十三世纪，才自天文学中脱离成一门独立的学问。十六世纪的欧洲，由於航海、历法计算的需要，更增加三角学的重要性。如今它不但应用於天文、地理，举凡航海、航空、建筑、工程、体育等…的一门基础学问，甚至在我们日常生活中,也成为不可欠缺的知识。

二、角

希腊数学家欧几里得在所著「几何原本」这一书中说明一个平面角，就是平面上两条相交但不重叠的直线，彼此间倾斜度。实际上角的概念，一方面代表两条相交直线分割的性质，另一方面也代表其分割程度，即角的度量衡。

三、角的度量与换算

1. 制

我们都知道圆规绕一圈为360度，但是好奇而且追根就底的人就会有疑问，为什麼会将圆分割为360等分。从数学史的角度，也许给一些答案，古代巴比伦人计数的单位为60进位，而且在60倍数中最接近一年的天数为360。可能符合上述的解答，即使在日常生活以10进位的时代，时钟的刻度还保持60进位，规定1小时为60分钟，1分钟为60秒。

2.弪度制(弧度)

在上一节，我们找圆分割为360等分，每一等分记为1度，1圈总计为 。

数学上还有一种常用的度量单位，称为弧度。在圆周上，截取与半径等长之弧，则此弧所对的圆心角称为一弧度（或称为一弪），以弧度为单位，通常省略不写，如：2弧度简记为2（图1）

又因为单位圆的周长为 ，所以 = ，由此可得1弪度 ，且 （弧度），这里有一个有趣的结果，经掌上型计算器可得知 ，这与 的差距不到十万分之一。所以当弪度x为很小时， 换句话说计算sinx可用x来估计，这可能是弪度被多人接受的原因之一且 在微积分上有重要的应用。

四、 有向角

没有人知道为什麼量角度要采逆时针方向，或许从观察大自然的现象，可略知一二，例如，因受磁场的影响在北半球的水槽的水以逆时钟方向流出，但在南半球的水槽则顺时钟方向流出，这种水流的方向是有差别。再举一例：

设 为一角，如图2所示：

如果 表东方， 表东北方，我们可用 表示从东方到东北方的方位差。如果站在O点，面向东然后转到东北方位与先面对东北方位然后转到东方，这两起动作是有区别的。为了能够把这些差异之处也表现出来，我们只好对角的两边 与给 出先后次序，把一个称为始边，另一个称为终边。例如，从 转至时 ， 是始边， 就是终边。从始边转向终边就是旋转方向，此时就可以把角看作是由始边沿著旋转方向到终边的旋转量。为了方便，通常规定逆时钟方向为正，顺时钟方向负，则把旋转方向是正的角称为正向角，简称正角；旋转方向是负的角称为负向角，简称为负角。正向角与负向角合称为有向角。例如，从东转至东北方位的有向角是 ，从东转至东南方位的有向角是 ，如下图3所示：

在有向角中，有相同始边及终边的角，互称为同界角。两个同界角之间一定相差 的倍数，如下图4中的 角与 角， 角与 角都是一对同界角。

五、锐角的三角函数

在国中的时候，我们曾利用相似三角形的性质引进了锐角三角函数来解决实际的测量问题。现在我们先把这些函数定义复习之后，再将其推广到广义角的三角函数。设 为一直角三角形，如图5所示：

其中 为直角， 为斜边，两股 与 分别是 的邻边与对边。

设 ， ， ，则我们定义 的六个三角函数如下：

从上述的定义，若令 ，我们可得下列关系式：

一‧倒数关系式

，
，
，
二‧商数关系式

，
三‧平方关系式

利用毕氏定理，可得

四‧余角关系式

如图5所示， 为一直角三角形， 为直角，因为三角形的内角和为 ，所以 和 互为余角，即 ， 的对边b恰为 的邻边，由正弦和余弦的定义可知

同理可得

，
，

故可得下列关系：

六、广义角的三角函数

我们在前面中引进了有向角的概念后，在本节中准备定义广义角的三角函数。设 为有向角，把它的顶点放在原点，始边放在x轴的正向上，然后看它的终边落在何处，终边可能落在第一象限，也可能落在第二象限、第三象限或第四象限，如图6所示，图上的均为正向角且小於

当然，终边也可能落在x轴或y轴上。无论如何，在终边上任取异於0的一点P，设其坐标为(x,y)，并令 ，虽然x和y可正、可负或为零，但是r恒为正。现在用x，y和r这三个数来定义广义角的三角函数如下：









值得注意的是，我们要在它的比值有意义的情况下才能定义广义三角函数，否则视为没有意义。例如，当P点在x轴上时，则P点的y坐标为0，此时，
和
的分母都是0，这种比值是没有意义的。又当P点在y轴上时，则P点的x坐标为0，此时，
和
的分母都是0，也是没有意义的。事实上，只有P点在x轴或y轴上的时候才会有比值没有意义的情形发生。

当
为锐角时，相应於直角三角形
的各量x和y都是正的，所以上面的定义和锐角三角函数定义完全相同。

根据上述广义角三角函数的定义，我们可绘制六个三角函数的图形，他们都是周期函数，图形如下列的Java applet所示:




例：试求
，
，


解：




设
角的顶点在原点，始边在x轴的正向，如图7所示：

在终边上任取一点P，令
，并作
，显而易见
，所以P的坐标为


，


故










试求(1)
，
，


(2)
，
，


从广义角的三角函数的定义可知，凡是同界角均有相同的三角函数值。所以下列公式成立：若n为一整数，则



















我们利用这些性质可以把任意角的三角函数化成
到
之间的三角函数。例如，







例题：

化下列诸角的三角函数为
到
之间的三角函数：


，
，


我们把以原点为圆心而半径为1的圆称为单位圆。设
与
两个角的终边与单位圆的交点分别为
与
，如图8所示：




因为
与
对称於x轴，所以


，


故



















我们利用这些性质可以把负角的三角函数化为正角的三角函数。例如，







设
与
两个角的终边与单位圆的交点分别为
与
，如图9所示：




因为
与
对於原点0成对称，所以


，


故有
















例如







设
与
两个角的终边与单位圆的交点分别为
与
，如图10

所示：




因为
与
对於y轴成对称，所以


，


故有



















例如







例题：

证明下列关系式：


，



，


七、三角函数之应用测量

题目一：

阿贵有一个砂石场，他的沙子是由输送带输送的，而当沙子落下时可形成一个圆锥形的沙丘，如今，已知其沙丘的底圆周长为12πm，而沙丘的顶角为60 度 ，试求沙丘的体积为何？

题目二：

美军获密报得知，一架由恐怖组织所劫持的民航机，正以时速900 km的速度接近白宫，如今，已知其飞行高度为150 km，并且将在20分钟后撞上白宫，试问民航机的俯角为何？ 后来又来一个消息，得知民航机的位置在白宫左上方，而在白宫左方约100 km处有一炮台，美军发射了一颗时速600 km的飞弹，飞弹经过5秒钟后，在高度25√3km处将民航机撞毁，而民航机的黑盒子掉落在爆炸位置的正下方，试求黑盒子与白宫之间的距离为何？

解题一：

1. 设沙丘的体积为v 则v＝ πr h/3

2. 令沙丘的半径为r 因为圆的周长为2rπ 所以r =12/2 = 6

3. 令沙丘的高为h 则h = r cot（60/2）= r cot 30 = 6√3

4. 由1 2 3得知 沙丘的体积v = π（36x6√3）/3 = 72√3π

解题二：

A 1. 令其俯角为 a 度 民航机与白宫的距离为 b km

2. 因为速率=距离/时间 所以 d = 900x（20/60）= 300 km

3. 由於民航机对白宫的俯角 会相等於白宫对民航机的仰角

sin a = 150/300 = 1/2 所以得知 角a = 30度

B 1. 令黑盒子与白宫之间的距离为x km

所以黑盒子与炮台的距离为 100 – x km

2. 设飞弹到撞到飞机的距离为d km

因为速率=距离/时间 所以 d = 600x（5/60）= 50 km

3. 设飞弹发射时的仰角为 c 度

sin c = 25 √3 / 50 = √3 / 2 得知仰角为60 度

4 由3.知 100 – x = 50 cos c =50x（1/2）= 25 km

5. 所以 x = 100 – 25 = 75 km

概述

简而言之，函数是将唯一的输出值赋予每一输入的“法则”。这一“法则”可以用函数表达式、数学关系，或者一个将输入值与输出值对应列出的简单表格来表示。函数最重要的性质是其决定性，即同一输入总是对应同一输出（注意，反之未必成立）。从这种视角，可以将函数看作“机器”或者“黑盒”，它将有效的输入值变换为唯一的输出值。通常将输入值称作函数的参数，将输出值称作函数的值。

最常见的函数的参数和函数值都是数，其对应关系用函数式表示，函数值可以通过直接将参数值代入函数式得到。如下例，
f(x) = x2 ，x 的平方即是函数值。
也可以将函数很简单的推广到与多个参量相关的情况。例如：
g(x,y) = xy 有两个参量x和y，以乘积xy为值。与前面不同，这一“法则”与两个输入相关。其实，可以将这两个输入看作一个有序对(x, y），记g为以这个有序对(x, y）作参数的函数，这个函数的值是xy。
科学研究中经常出现未知或不能给出表达式的函数。例如地球上不同时刻温度的分布，这一函数以地点和时间为参量，以某一地点、某一时刻的温度作为输出。
函数的概念并不局限于数的计算，甚至也不局限于计算。函数的数学概念更为宽泛，而且不仅仅包括数之间的映射关系。函数将“定义域”（输入集）与“对映域”（可能输出集）联系起来，使得定义域的每一个元素都唯一对应对映域中的一个元素。函数，如下文所述，被抽象定义为确定的数学关系。由于函数定义的一般性，函数概念对于几乎所有的数学分支都是很基本的。

历史

函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，以描述曲线的一个相关量，如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数。此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学的基础。

1718年，约翰·贝努里（en:Johann Bernoulli）把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量。”1748年，约翰·贝努里的学生欧拉（Leonhard Euler）在《无穷分析引论》一书中说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或[常量]]以任何一种方式构成的解析表达式”。例如f(x) = sin(x) + x3。1775年，欧拉在《微分学原理》一书中又提出了函数的一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数。”
19世纪的数学家开始对数学的各个分支作规范整理。维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出将微积分学建立在算术，而不是几何的基础上，因而更趋向于欧拉的定义。
通过扩展函数的定义，数学家能够对一些“奇怪”的数学对象进行研究，例如不可导的连续函数。这些函数曾经被认为只具有理论价值，迟至20世纪初时它们仍被视作“怪物”。稍后，人们发现这些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用。
到19世纪末，数学家开始尝试利用集合论来规范数学。他们试图将每一类数学对象定义为一个集合。狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）给出了现代正式的函数定义（参见下文#正式定义）。狄利克雷的定义将函数视作数学关系的特例。然而对于实际应用的情况，现代定义和欧拉定义的区别可以忽略不计。

正式定义
从输入值集合X 到可能的输出值集合Y 的函数f（记作 f : X → Y）是X与Y的关系，满足如下条件：

f 是完全 的：对X 中任一元素x 都有集合Y 中的元素y 满足x f y （x 与y 是f 相关的）。即，对每一个输入值，Y 中都有至少一个与之对应的输出值。
f 是多对一 的：若x f y 且x f z ，则y = z 。即，多个输入可以映射到一个输出，但一个输入不能映射到多个输出。
定义域中任一x 在对映域中唯一对应的y 记为f(x)。

比上面定义更简明的表述如下：从X 映射到Y 的函数f 是X 与Y 的直积X × Y 的子集。X 中任一x 都与Y 中的y 唯一对应，且有序对(x, y)属于f 。

X与Y的关系若满足条件(1)，则为多值函数。函数都是多值函数，但多值函数不都是函数。X与Y的关系若满足条件(2)，则为部分函数。函数都是部分函数，但部分函数不都是函数。除非特别指明，本百科全书中的“函数”总是指同时满足以上两个条件的关系。

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