查人人中国名人网双节棍演出背景音乐:高2数学问
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/04/30 10:18:46
一个直角三角形,其周长定值为2,求它面积的最大值
用三角办法。
设斜边长为a，一个内角（锐角）为θ，则两直角边分别为asinθ,acosθ。
易知a+asinθ+acosθ=2，a=2/(1+sinθ+cosθ)。
S=1/2*asinθ*acosθ
=a²sinθcosθ/2
=[2/(1+sinθ+cosθ)]² *sinθcosθ/2
=2sinθcosθ/(1+sinθ+cosθ)²
（以下设θ/2=α）
=2*2sinαcosα(cos²α-sin²α)/(sin²α+cos²α+2sinαcosα+cos²α-sin²α)
=4sinαcosα(cosα+sinα)(cosα-sinα)/[2cosα(cosα+sinα)]
=2sinα(cosα-sinα)
=sin2α-(1-cos2α)
=√2sin(2α+π/4)-1
=√2sin(θ+π/4)-1
当θ=π/4时S有最大值√2-1，此时a=2/(1+√2)=2(√2-1)，两条直角边长均为2-√2。
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楼上没有给出理由。
这道题有代数解法。可设两条直角边为a和b，则斜边为√(a²+b²)，S=ab/2，再结合一元二次方程（韦达定理）来解。
设直角边长为x,y
那么斜边长为根号x^2(平方)+y^2
面积为xy/2
当x=y时,面积最大,此时x=2-根号2