大庆市绝对现场:■■数学问题2求解■■

思路分析:由结论EF<BE+CF很容易与定理
“三角形两边之和大于第三边”联系在一块，观察图
形，BE，CF，EF条件分散，不在一个三角形中，
必须设法（平移，旋转，翻转等）把三者集中
在一个三角形中，是打开本例思路的关键.由角
的平分线这一线索,可将△BDE沿角平分线翻转
180°,即B点落在AD的点B'上(如图)(也就是在
DA上截取DB’=BD),连结EB’,B’F,此时△BDE与△B’DE完全重合,所以△BDE≌△B’DE(两个三角形能够完全重合就是全等三角形,所以BE=B’E(全等三角形的对应边相等).
∵AD为△ABC的中线(已知)
∴BD=CD(中线性质)
∵BD=B’D(已证) ∴CD=B’D(等量代换)
∴在△CDF与△B’DF中
CD=B’D (已证)
∠CDF=∠B’DF (已知)
DF=DF (公用边)
∴△CDF≌△B’DF (SAS)
∴B’F=CF (全等三角形的对应边相等)
在△EFB’中,EF<B’E+B’F(三角形的两边之和大于第三边).
∴EF<BE+CF(等量代换).
对本例,也可采取平移法把CF平移与BE在一个三角形中(如图),作BF’ ‖AC交FD的延长线于F’,连结BF’.由AD为△ABC中线知:BD=DC.
∵BF’ ‖AC (由作图知)
∴∠C=∠F’BD (二直线平行,内错角相等)
在△F’BD与△FCD中
∠C=∠F’BD (已证)
BD=DC (已证)
∠F’DB=∠FDC (对顶角相等)
∴△F’BD≌△FCD(ASA)
∴F’B=FC (全等三角形对应边相等)
此时,连结EF’,便构造出△BEF’,则
BE+BF’>EF’ (三角形的两边之和大于第三边).即EF’<BE+FC(等量代换)
对照结论,只要再证EF’=EF 便达目的.
由△F’BD≌△FCD(已证)
∴DF’=DF（全等三角形对应边相等）
∵∠EDA= ∠ADB, ∠FDA= ∠ADC (已知)

∴∠EDA+∠FDA= (∠ADB+∠ADC)
∵∠ABD+∠ADC=180° (平角定义)
∴∠EDA+∠FDA=90°
∵∠EDF=∠EDA+∠FDA
∴∠EDF=90°
∵∠EDF’+∠EDF=180° (平角定义)
∴∠EDF’=90°
在△EDF和△EDF’中
ED=ED (公用边)
∠EDF=∠EDF’ (已证)
DF=DF’ (已证)
∴△EDF≌△EDF’ (SAS)
∴EF=EF’ (全等三角形对应边相等)
∴EF<BE+CF (等量代换)