查人人中国名人网攻守道在哪看:在△ABC中,记a,b,c分别是A,B,C的对边,S是三角形的面积,求证:c^2-a^2-b^2+4ab≥4√3S
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/04/30 01:35:18
PS:因为字符不规范,我再用文字说明.求证:c的平方减a的平方减b的平方加4ab大于等于4乘以根号3乘以S~
余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosc,变形得c^2-a^2-b^2+4ab=4ab-2abcosc
三角形面积S=1/2absinc
代入不等式得4ab-2abcosc≥4√3×1/2absinc
等价于2-cosc≥√3sinc
即1≥√3/2sinc+1/2cosc
即1≥sin(c+30)
从上到下都是等价符号连接，得证
证明:
a^2+b^2+c^2-4倍根号3S [S=(1/2)absinC]
=a^2+b^2+c^2-(4倍根号3)(1/2)absinC
=a^2+b^2+(a^2+b^2-2abcosC)-(2倍根号3)absinC
=2<a^2+b^2-2ab{(1/2)cosC+[(根号3)/2]sinC}>
=2[a^2+b^2-2absin(C+30度)]
因为sin(C+30度)=<1
所以:2absin(C+30度)>=-2ab
所以:2[a^2+b^2-2absin(C+30度)]>=2(a^2+b^2-2ab)
=2(a-b)^2>=0
所以:a的平方+b的平方+c的平方大于等于4倍根号3S
这个要用到高中的余弦定理和诱导公式。
余弦公式：
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
上式中A、B、C分别表示a,b,c所对应的角。
由第三个公式可以得到
c^2-a^2-b^2=-2ab*cosC ；
又S=1/2*ab*sinC 。
将上面两个等式带入欲证式，就得到新的欲证式：
4ab≥2ab*cosC +2√3ab*sinC
化简之后就是
1/2cosC +√3/2sinC≤1
把1/2和√3/2分别视为sin30和cosC30
那么上式就等价于
sin（30+C）≤1，这显然成立，当且仅当C=60时取得最大值为1。
证毕。