查人人中国名人网北京大学校园卡中心:一道高二不等式
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/05/02 03:03:06
若x,y是正数，则（x+1/2y）^2 + (y+1/2x)^2的最小值是
a,3
b.7/2
c.4
d.9/2
要解答过程
a,3
b.7/2
c.4
d.9/2
要解答过程
选C。
步骤：1 首先把上边的式子展开，为x^2+1/(4x^2)+y^2+
1/(4y^2)+x/y+y/x.
2根据不等式的性质a^2+b^2>=2ab(在a=b时取等号）与题意可得 x^2+1/(4x^2)>=1(当x分别等于二分之 根号二时取等号)，y^2+1/(4y^2)>=1(当y分别等于二分之根号二时取等号)，
x/y+y/x>=2 (当x=y时取等号）
将上边三式相加可以得
x^2+1/(4x^2)+y^2+1/(4y^2)+x/y+y/x>=4
（ 在x=y等于二分之根号二时取等号）
答：c，4
解：
（x+1/2y）^2 + (y+1/2x)^2
=（x^2+y^2)+(x/y+y/x) + (1/y^2+1/x^2)/4
≥2xy+2+2*[1/(xy)]/4
=2xy+2+1/(2xy)
=2xy+1/(2xy)+2
≥2+2
=4
支持一楼的解答！二楼的不太严谨！因为在用那个重要不等式时一定要考虑等号能否成立的问题！例如(x^2+2)+1/(x^2+2)>=2中的等号就不能成立！所以一定要注意这个问题，尤其是求最小值的问题！