查人人中国名人网菲律宾和日本:两道高等数学积分题
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/05/02 19:32:51
对x*(arctgx)*ln(1+x^2)进行不定积分；利用定积分的定义求解a^x在〔0，1〕上的定积分（不能直接用公式）
1、∫x(arctgx)ln(1+x^2)dx
=(1/2)∫(arctgx)ln(1+x^2)d(1+x^2)
=(1/2)∫(arctgx)d[(1+x^2)ln(1+x^2)].....(*)
=(1/2)[(arctgx)(1+x^2)ln(1+x^2)-∫(1+x^2)ln(1+x^2)d(arctgx)]
=(1/2)[(arctgx)(1+x^2)ln(1+x^2)-∫ln(1+x^2)dx]
=(1/2)[(arctgx)(1+x^2)ln(1+x^2)-xln(1+x^2)+∫2x^2/(1+x^2)dx]
=(1/2){(arctgx)(1+x^2)ln(1+x^2)-xln(1+x^2)+∫2-[2/(1+x^2)]dx}
=(1/2)[(arctgx)(1+x^2)ln(1+x^2)-xln(1+x^2)+2x-2(arctgx)]+C
1/2乘进去我就不乘了。本题基本上是用分部积分解决的，其中还有些步骤跳了
如(*)处利用了∫lnudu=ulnu-∫ud(lnu)=ulnu。其实也是分部积分方法。
第二题请等待......