钛钻ih不粘锅:有哪29个完全数

完全数

完全数(Perfect number‎，又称完美数或完备数)是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。

例如:第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1＋2＋3＝6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1＋2＋4 + 7 + 14＝28。后面的数是496、8128。

完全数的发现
古希腊数学家欧几里德是通过 2n−1(2n − 1) 的表达式发现头四个完全数的。

当 n = 2: 21(22 − 1) = 6
当 n = 3: 22(23 − 1) = 28
当 n = 5: 24(25 − 1) = 496
当 n = 7: 26(27 − 1) = 8128
欧几里德证明了：一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式：2n − 1(2n − 1)。

其中2n − 1是素数，上面的6和28对应着n=2和3的情况。我们只要找到了一个形如2n − 1的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12p + 1或36p + 9的形式，其中p是素数。在1018以下的自然数中奇完全数是不存在的。

首八个完全数是： 6，28, 496, 8128, 33550336, 8589869056(10位), 137438691328(12位), 2305843008139952128(19位)... (OEIS:A000396)

历史
古代数学家根据当时已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为2，3，5，7恰好是头4个素数，第五个完全数应该是第五个素数即当n＝11的时候，可是 并不是素数。因此n＝11不是完全数。另外两个错误假设是：

头四个完全数分别是1，2，3，4位数，第五个应该是5位数。
完全数应该是交替以6或者8结尾。
而事实上，第五个完全数33550336 = 212(213 - 1)，是8位数。对于第二个假设，第五个完全数确实是以6结尾，但是第六个完全数8 589 869 056仍是以6结尾。

奇妙性质
偶完全数都是以6或8结尾。如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾。
除6以外的偶完全数，把它的各位数字相加,直到变成个位数,那么这个个位数一定是1：（亦即：除6以外的完全数，被9除都余1。）
28：2+8=10，1+0=1
496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1
所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从2p - 1到22p - 2:
6=21 + 22
28=22 + 23 + 24
8128=26 + 27 + ... + 212
33550336=212 + 213 + ... + 224
每个偶完全数都可以写成连续自然数之和：
6=1+2+3
28=1+2+3+4+5+6+7；
496=1+2+3+…+30+31
除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有)：
28=13 + 33
496=13 + 33 + 53 + 73
8128=13 + 33 + 53 + ... + 153
33550336=13 + 33 + 53 + ... + 1253 + 1273
每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（这可以通分母证得。因此每个完全数都是调和数。）
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2
1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2
它们的二进制表达式也很有趣：（因为偶完全数形式均如2n − 1(2n − 1)）
(6)10 = (110)2
(28)10 = (11100)2
(496)10 = (111110000)2
(8128)10 = (1111111000000)2
(33550336)10 = (1111111111111000000000000)2
(8589869056)10 = (111111111111111110000000000000000)2
(137438691328)10 = (1111111111111111111000000000000000000)2

完全数猜想
对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史，欧几里德《几何原本》，就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数。到1998年为止，人们只发现了37个完全数，且都是偶数。1998年发现的最大完全数为2^3021376（2^3021377-1）。用计算机已经证实了，在10100以下，没有奇的完全数；至今还证明了，如果奇的完全数存在，则它至少包含8个不同素数。一般猜测：奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限，或者是否有最后一个？至今都不能回答。

6、28、 496、 8128、 33550336、 8589869056、137438691328、2305843008139952128.........2^3021376

中间的自己算