查人人中国名人网胡伊萱尸检:一道高二数学题，要求想解，好的加分！
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/04/29 07:50:26
已知a,b,c互不相等，求证:a^4+b^4+c^4>abc(a+b+c)
要求想解，好的加分
要求想解，好的加分
a^4+b^4>=2a^2*b^2
b^4+c^4>=2b^2*c^2
a^4+c^4>=2a^2*c^2
叠加
得a^4+b^4+c^4>=(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2-----------I
同理
(ab)^2+(bc)^2>=2ab^2c
(bc)^2+(ac)^2>=2abc^2
(ab)^2+(ac)^2>=2a^2bc
叠加
得 (ab)^2+(bc)^2+(ac)^2>=ab^2c+abc^2+a^2bc----II
=abc(a+b+c)
由I和II，及a,b,c互不相等，等号取不到，即可得到结果
证;因为a^4+b^4>=2a^2b^2(公式)而ab不等,
所以a^4+b^4>2a^2b^2
同理a^4+c^4>2a^2c^2
b^4+c^4>2b^2c^2
所以a^4+b^4+c^4>a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2
而a^2b^2+a^2c^2=a^2(b^2+c^2)>2a^2bc(abc互不相等所以等号不能取-公式)
同理b^2a^2+b^2c^2=b^2(a^2+c^2)>2b^2ac
c^2a^2+c^2b^2=c^2(a^2+b^2)>2c^2ab
上述3式相加得a^4+b^4+c^4>a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2>a^2bc+b^2ac+c^2ab
所以得证