cqc质量认证中心上下班:关于圆和球的难题

【一.1】
首先，要计算每三个小球紧挨着，中间的空隙面积。
设小球的半径为r。
三个小球组成的等边三角形面积为：
1/2*2r*√3r＝√3r*r＝√3/π*S
三个小球中间的空隙面积为：
√3/π*S－3*1/6*S＝(√3/π－0.5)*S
N=3时，共有1个空隙；
N=4时，共有2个空隙；
N=5时，共有3个空隙；
......
N=N时，共有(N-2)个空隙；
总面积＝N*S-(N-2)*(√3/π－0.5)*S
【一.2】
最多能装N个小圆,说明至少大圆与小圆相切，又分两种情况：(1)某个小圆的圆心与大圆同心（就像7个小圆组成一个梅花形状的那样），这是N能被6n+1整除；（2）三个小圆组成的空隙中心为大圆的圆心，N能被3n整除。我暂时不会算，考虑考虑。

对不起，太难了，我无能为力。 不过我可以提供一些资料。
国外科技动态 RECENT DEVELOPMENTS IN SCIENCE & TECHNOLOGY ABROAD 2000 No.7 P.30-32
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数学证明及其优美性
过去数学证明通常简捷而优美，但现在它们更像是洋洋洒洒的《战争与和平》甚至枯燥无比的电话簿。人们不禁质疑：优美的数学证明是否已经成为一种失去了的艺术？ 欧几里德以简捷、优美、充满智慧的数学论证为世人所仰慕。人们都为数学的优雅和数学世界的美丽而惊叹，也为能理解其证明的正确性而高兴。 性情古怪但又聪明绝顶的数学家Paul Erdos断定上帝有一本关于所有最佳数学证明的书。在他看来，数学家的工作就是越过上帝的肩膀偷看一下那本书，并将上帝的智慧传递给人类。 但是现在看来这种简单、优美的方法只是几种数学证明方法之一，审视一下过去几年知名的数学证明，其已不是那种为希腊人所知的简短紧凑的证明，而是及其庞大，有几百页乃至几千页之巨。上帝创造的优美性出了什么问题？这些庞大的证明真是必需的吗？其之所以如此庞大是否是因为数学家愚蠢到不能找到“上帝之书”中所写的简短而聪明的证明方法？ 答案之一是简短的数学论述未必有简短的证明。奥地利出生的数学家Kurt Godel原则上证明了有些简短的数学论述需要很长的证明，但他不知道哪些数学论述是这样的，其他人同样如此。 过去几年中一些重要的数学证明都冗长而复杂，例如由美国普林斯顿大学的数学家Andrew Wiles于1996年证明的费马大定理。为了解决这个难题，Wiles使用了大量的数学方法，对问题进行拆解，结果得到的证明一点也不枯燥和烦琐，反而显得丰富而优美，虽然不像“上帝之书”中的证明那么简短，但也像一部《战争与和平》。 费马大定理的形成过程值得一提。1637年，具有非凡数学才华的法国律师费马(Pierre de Fermat)在他的个人著作《Arithmetica of Diophantus》中阐述了一个重大定理，其与毕达哥拉斯的定理a2+b2=c2(其中a、b、c为整数)有关，有众多不同的a、b、c值满足这个等式，每一组值都构成了一个直角三角形的三个边，其中c为斜边。 费马尝试使三次方或四次方的等式也成立，但却找不到实例。换句话说，他无法发现一个使an+bn=cn成立的方程式，其中a、b、c为整数(a、b、c≠0)，n为大于2的整数。这是否意味着这种等式不可能存在呢？在其著作的边缘空白处，费马写到他已经想到了一个绝妙的方法证明毕达哥拉斯定理只适用于二次方，但他又注明“地方太小，无法写下这个证明”。 这样一个证明方法虽然在书的边缘写不下，但也肯定是简捷而优美的，可以在“上帝之书”中占有一席之地。然而三个半世纪以来，一个接一个的数学家尝试着去寻找它，但均以失败告终。然而在20世纪80年代末期，普林斯顿大学的英国数学家Andrew Wiles着手攻克这一难题。他在其屋顶阁楼独自工作，仅告诉了几个发誓替他保密的同事。 Wiles使用的方法和前人一样，假设满足等式的a、b、c、n存在，然后希望能够用代数学的方式导致矛盾。他的这一出发点起源于德国Essen大学Gerhard Frey的想法。Frey认为用费马的“不可能存在”的等式的三个根a、b、c可以构成代表椭圆曲线的三次方程。这是一个聪明的办法，因为数学家研究椭圆曲线已经有一个多世纪了，并掌握了很多处理椭圆曲线的方法，而且那时数学家们已经认识到由费马等式的根产生的椭圆曲线有奇异的特性，与另一个称为Taniyama-Shimara-Weil的决定椭圆曲线性质的猜想相矛盾。 费马等式的根将否定Taniyama-Shimara-Weil猜想，意味着如果证明猜想是正确的，则费马等式的根就不可能存在。因此Wiles花了7年的时间用数论的方法解决了这个问题。尽管他独自工作，但他不是独自创立了这个领域，他与椭圆曲线领域最新的进展保持着密切的接触。如果没有众多的数论专家创造的一系列新方法，他可能不会成功。即便如此，他本人的贡献也是巨大的，他将这一领域推进到了一个崭新的时代。 Wiles的证明目前已全部出版，它有100多页长，当然要写在书的边缘是太长了。Wiles发明的证明费马大定理的方法极其丰富而优美。他的思想开创了数论的崭新时代。当然他的证明很长，只有这一领域的专家才能理解其中的具体内容。 还有第三种数学证明的方法，只是在过去的30年中才出现，这就是计算机辅助证明。它就像一个提供单调、重复的三明治的快餐商店，可以完成这方面的工作，但结果一点也不优美。计算机辅助证明所做的工作就是将通常很聪明的解决难题的方法变为巨大的、程序性的计算，然后交给计算机，如果计算机说“对”，则证明就完成了。 去年就出现了一个使用这种证明方法的例子。1611年，约翰尼斯*开普勒(Johannes Kepler)在研究将球堆放在一起的方法时，得到的结论是在一个给定的空间放入最多圆球的最有效方法是水果商码放柑橘的方法，先呈蜂窝状的码放一层，然后再在其上面码放同样的一层，但位于第一层的凹处，如此一层层码放。这种码放的方法也出现于许多晶体中，物理学家称之为面心立方晶格。 开普勒的结论是“显然的”，但理所当然这么想的人缺乏敏锐的判断。例如，当时甚至没能证明最有效的码放方法还包括水铺法。虽然水果商是一层层码放货物的，但并不一定非要如此。即使是这一问题的二维空间版本，即在平面上铺放同等大小的圆的最有效的方法是蜂窝状铺放，也直到1947年才由匈牙利数学家Laszlo Fejes Toth证明。约10年前，美国加州大学的Wu-Yi Hsing宣布证明了这一问题的三维版本。证明长达200页，但是其中的推理缺乏连贯性，渐渐的其他数学家拒绝接受这一证明。去年美国密歇根大学的Thomas Hales宣布了一个计算机辅助证明，有几百页之长并附有一大堆计算结果，此证明最先发表在他的网页上，现在正在接受同行的审核以期在数学期刊上发表。 Hales采用的方法是记录下所有堆放小球的可能方法，然后证明如果堆放方法不是按照面心立方晶格结构，则可以通过细微的调整进行压缩。结论是唯一的不可压缩的堆放方法，即最有效填充空间的方法是猜想的那一种。Toth也是这样处理二维问题的，他列出了约50种可能的铺放方法，而Hales要处理几千种，计算机要证明这些大量的不同方法需要3G的内存。 最早使用这种计算机方法的数学证明之一是四色原理。约150年前，英国数学家Francis Guthric提出是否所有包含任何形状国家的地图都可用四种颜色图色，即可使相邻国家有不同的颜色。这一原理听起来简单，但要证明却极其困难。1976年美国数学家Kenneth Appel和Wolfgang Haken发现了证明方法，通过反复试验和手工计算，他们先提出了近2000种国家的组合，然后用计算机证明这些组合是“不可避免的”，即任何可能的地图中的国家排列至少是这些组合中的一种。 下一步是证明这些组合中的任何一个都是“可缩减的”，即每一种组合的一个部分都可缩减去掉，成为一个简单的地图。严格地说缩减必须保证如果缩减后的简单地图可以用四种颜色图色则原地图也可以。 现在想象一下需要用五种或更多种颜色图色的最简单的地图，即所谓的“最小违反图”。像所有地图一样，这个地图肯定至少包含二千种可缩减组合之中的一个，缩减所包含的组合就可得到比“最小违反图”更简单的地图，其肯定只需要四种颜色，这也意味着“最小违反图”只需要四种颜色即可，避免这一矛盾的唯一可能是“最小违反图”不存在。 实际上在证明过程中用到了更多的方法，而不仅仅是缩减地图。为每一个组合寻找相应的缩减方法需要大量的计算机运算，使用当时最快的计算机也需要2000个小时，但使用现在的计算机只需1个小时，最终Appel和Haken得到了答案。 计算机辅助证明在风格、创新性、方法和哲学等方面带来了一系列问题，有些哲学家认为就传统意义而言用计算机证明方法得到的根本不是证明。而另外一些人却指出，这种大量的、程序性的工作正是计算机的特长，却是人类的弱点，如果一台计算机和一个人同时经过大规模的计算后得出不同的结论，则赌注应该压在计算机上。 计算机进行的任何计算都是平常、单调的，只有人们将其引深后才有价值。如果说Wiles对费马大定理的证明内涵丰富、充满思想性，像一部《战争与和平》，则计算机证明更像一本电话簿，没有人愿意读这种东西。而事实上像Appel-Haken和Hales的证明从文献阅读的角度说还太短了，其仅是用于审核。 然而这些证明并不缺乏优美性和深度，毕竟要有足够的智慧才能使计算机能够解决难题，而且当证明了猜想的正确性后，也许能试着去寻找更优美的证明方法。这听起来有些奇怪，但往往证明已经知道其正确性的事情很容易。在数学家之间有可能会听到这样的对话，有人会开玩笑地建议可以散布某一重要的难题已经解决的谎言，这样可以使其他人更容易地找到证明方法。这是否意味着数学家们能逐渐地发现上帝对开普勒、费马和其他定理的证明呢？如果是这样的话当然很好，但这可能不会遂人所愿，也许在“上帝之书”里根本没有这些定理的证明。没有理由认为陈述简单的定理也必然有简单的证明，人们都知道有许多做起来极其困难的事情说起来却十分简单，比如“登月”、“治疗癌症”等，数学也不例外。 专家们经常会对复杂冗长的证明或有些人提出的另外的简化证明方法的错误性印象太深刻了，虽然他们经常是对的，但偶尔也会由于知道的太多而使他们的判断力受到影响。这好比有一座高山，一条曲折的山路是登顶的很自然的道路，但如果这座高山充满了冰川和沟壑，这条路就可能极其漫长和艰险，也许这条似乎是唯一选择的路途中还有不可攀登的悬崖峭壁，然而有可能发明直升飞机使你可以快捷容易地到达顶峰。因此有些人会偶然地发现类似的方法证明专家是错误的。 请记住Godel和其发现的某些数学证明必定很长这一理论，也许四色定理和费马大定理就是其中的例子。就四色定理而言，可以通过计算证明如果使用目前的方法，即找出一系列不可避免的组合，然后用“缩减”的方法一个个排除，则不可能有更简短的证明。这就如同登山时遇到了冰隙，当然也不排除会有“直升飞机”的出现。 回到费马在其著作上的潦草注释这一问题上。如果人类能够发现的最佳证明只能如此庞大，那么为什么费马会那样注解呢？他当然不会将一个200页的证明弄错而匆忙地注释说“在书的边缘写不下”。 在此还有另一个理论。剑桥大学的数学家Godfrey Hardy是一个无神论者，但也不是传统的宗教信徒。Hardy相信上帝的数学证明是为他准备的，所以当他进行令其憎恶的坐船旅行时，会发出一封电报：“刚刚证明了黎曼猜想，但在船上无法写下证明过程。”对质数进行复杂分析的黎曼猜想一直是数学领域最重要的仍未解决的难题。Hardy相信这样上帝就不会让船沉没，因为如果船沉没了，他将在死后得到有可能已经找到了证明方法的美誉。 也许费马有同样的想法，或者他可能仅仅想成名。若真如此，他的目的已经达到了。

相信数学，或相信计算机
作者:鲁伊 | 2004-05-14
假如在你面前放着一堆桔子，怎么摆放才能最节约空间？
别以为这只是困扰水果店老板的日常烦恼之一。虽然任何人都可以凭着经验或直觉断定，把上一层桔子交错着放到下一层桔子彼此相邻的凹处，显然要比直接一个叠一个的摆放更合理，也更节约空间。但是，谁能从数学上证明，的确不存在比这更合理的方法呢？
事实上，在400多年的时间里，由罗利爵士（Sir Walter Raleigh）最早提出的这个问题——“开普勒猜想”（Kepler’s Conjecture）——难倒了众多数学家。虽然最新一期的《数学年刊》（Annals of Mathematics）上刊登了匹兹堡大学数学教授托马斯·海尔斯（Thomas C Hales）1998年完成的证明论文，但此种权威数学界承认某一难题有了最终解答的通常形式，这一次似乎却引起了更大的争论。争论的中心便是，你信得过一台计算机的计算结果吗？
说起开普勒猜想的历史，要回到1590年的某一天。在为自己的船队出海远征前准备物资时，沃尔特·罗利爵士突然想到:能不能根据一堆摆放整齐的炮弹的高度，推算出这些炮弹的准确数目呢？他的助手、数学家托马斯·哈里耳特（Thomas Harriot）几乎毫不费力的就给出了答案。然而，当更深入地思考这个问题时，哈里耳特却发现，其中的奥秘并不那么简单。水手们惯常使用的摆放方式是否是最节约空间的方式？怎样摆放球体，才能使它们占用最少的地方？哈里耳特设想出了多种堆放模型，并在此基础上发展出了自己的原子理论。
几年后，在写给著名天文学家开普勒（Johannes Kepler）的信中，哈里耳特提到了这个问题。在经过一系列的试验之后，开普勒在1611年出版的小册子《新年礼物——论六出的雪花》中提出了自己对于问题正确解答的猜想:当大小相当的球体按照“面心晶体”——球心位于正方体各面的中心上——的形式，并且将第一层摆放成六角形时，它们占用的空间最小，对空间的利用率可以超过74%。虽然开普勒没有为自己的猜想给出证明，但他的影响力却使该问题自此被命名为“开普勒猜想”。
开普勒猜想被提出之后，许多数学家都试图为其给出证明。但直到200多年后，另一位伟大的数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）才在1831年部分证明了开普勒猜想，即对于规则形状，开普勒猜想是正确的。但在此之后，开普勒猜想的证明工作再度停滞。在1900年的国际数学家大会上，数学家大卫·希尔伯特因此将其列入了著名的“二十三个未解数学难题”之一。
1953年，匈牙利数学家拉兹洛·费耶·托斯（Laszlo Fejes Toth）指出，无论对于规则和不规则形状，开普勒猜想的证明都可以减少到有限次数——但数目极为庞大——的计算。这就意味着，从理论上讲，一种穷尽所有可能的证明方式是可行的。而一台速度足够快的计算机就可以将这种设想变为现实。
从1992年开始，遵循着托斯的思路，当时在密歇根大学的海尔斯开始与自己的学生合作，使用计算机辅助证明开普勒猜想。在经过了6年的运算后，1998年8月，海尔斯宣布证明完成。他的全部证明包括250页笔记，3GB的计算机程序、数据和运算结果。
虽然海尔斯的证明是如此的有异于常态，但《数学年刊》还是同意发表这篇论文。为此，《数学年刊》还特意聘请了匈牙利科学院的加伯·费耶·托斯（Gabor Fejes Toth）——拉兹洛·费耶·托斯的儿子——担任评审委员会的负责人。
开普勒猜想并不是第一个依赖计算机获得证明的著名数学难题。1976年，伊利诺伊大学的两位数学家就使用计算机证明了著名的四色定理，即任何一幅地图，只需要使用四种颜色，就能确保相邻的两个地区颜色不会相同。这个证明发表后，数学家们不断地从中发现若干错误。虽然每一次有错误被发现时，研究人员都能迅速地改正这些错误，但这却给许多数学家留下了非常糟糕的印象。
为了避免重蹈四色定理证明的覆辙，《数学年刊》的工作人员决定对开普勒猜想的证明进行彻底而谨慎的检验。但是，在花了近6年的时间验证了海量的数据后，去年，评审委员会却无奈地宣布放弃全面验证开普勒猜想证明结果的计划。他们验证到的所有部分都丝毫无误，但要把全部数据都一一核查清楚，却是一件几乎不可能完成的使命。
《数学年刊》无奈之下，想出了一种变通的解决办法。他们打算在发表的论文之前加上一条免责条款:本证明大部分，但非全部，被验证过。但是，这个主意却遭到了许多数学家的批评。最后，在征求了另一位数学家的意见后，《数学年刊》做了一个所罗门王式的决定。把论文一切两半，刊登已经使用传统方式验证过的证明，舍去计算机运算的数据。
其实，围绕开普勒猜想证明的一系列争论，很大程度上是“数学课是否应该允许学生使用计算器”的高端版本，只不过争论的双方变成了专业的数学家，而价值判断的取舍也更为困难。问题的焦点在于，如果接受了海尔斯的证明，也就意味着，假定计算机在执行计算时完全无误，不会存在任何微小的程序错误。而是否真的是这样，人类很难凭借自己的能力做出判断。就像普林斯顿数学教授约翰·康威（John Conway）在接受《纽约时报》采访时说的:“我不喜欢它们（计算机证明），因为你感觉不知道究竟发生了什么。”
对于一向追求凭逻辑和运算即可判定真伪，并以明确简洁的证明为“好的数学”的原则的数学界而言，这无疑是让人非常难以接受的结果。更何况，计算机的运算也并非无可挑剔。英特尔公司就一直在使用校验工具软件检查其计算机芯片的运算法则，希望避免1994年奔腾芯片曾经出现过的数据运算错误再度发生。
不过，也有乐观的数学家指出，既然现在最好的计算机可以在比赛中打败世界象棋冠军，那么，未来的计算机也应该能够解出难倒了最伟大的数学家的数学难题。但问题的关键似乎不在于此。开普勒说过，数学是惟一好的形而上学。用计算机如此形而下的方式解答他留下来的猜想，多少总有些讽刺的味道罢。

1.N个面积为S的圆所组成的面积的最小值怎么用N和S表示?
解答：NS.（只要把N个圆并列排成一排。所组成的面积就是N个圆的面积了。）

【一.1】 我在此不得不指出，楼上的解答有很严重的错误。
1）当球的个数增加到七个时，形成的空隙个数最多为六个。此时一个球在中心六个球在周围。
2）如果球的个数再增多，空隙个数会增加得更快。极限是，即无穷多个球时，空隙个数将达到球个数的二倍。
【分析】不难发现，将球排列紧密时，各个球的圆心连线组成一系列的正三角形。在这个图形中，顶点的个数等于圆的个数，小正三角形的个数等于空隙的个数。根据规律性及图的直观性，这一系列的三角形组成正六边形时，空隙数最多，并且越趋近于正六边形，空隙数越多。经鄙人计算，圆心能组成正六边形的圆的个数为3n*(n+1)+1,与之相对应的空隙数为6n*n即6n^2 个。当n趋于无穷大时，比值为2，这正是2）中所指出的。
还要指出，当排列好的球不能构成正六边形时，即球的个数不能写成3n*(n+1)+1的形式时，空隙个数介于相邻的两个六边形空隙之间，具体的个数还需具体分析。
【一.2】 根据第一步做。
设第一问里面已经解出总面积s'=f(n,B)，其中n为小圆的个数，B为小圆的面积，则N等于满足式s'<A的n中最大的那个。
第二题解法思路一样，在此不赘述，谅解。
注：。我本人对第一问里可以给出具体表达式的可能性不抱希望。此解并不完善，仍待斟酌。
我很希望楼主和一楼的“化学工程”能与我联系，以便进一步分析。（这个题目真的很有价值）