查人人中国名人网卡罗拉变速箱异响:数列推理问题
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/05/03 17:36:01
已知:b(0)=0
b(n)=(1+q)×b(n-1)+A×((1+p)^(n-1))，其中A,p,q为常数。
求：b(n)通项。
b(n)=(1+q)×b(n-1)+A×((1+p)^(n-1))，其中A,p,q为常数。
求：b(n)通项。
代入可得
b(1)=(1+q)×b(0)+A×((1+p)^(1-1))=A
b(2)=(1+q)A+A*(1+p)
b(3)=A[(1+q)^2+(1+q)(1+p)+(1+p)^2]
...
b(n)=A*{[(1+q)^(n-1)][(1+p)^0]+...+[(1+q)^(n-i)][(1+p)^(i-1)]+...+[(1+q)^0][(1+p)^(n-1)]} (i在0,n-1之间)
1、若q≠p,就可以化简为b(n)=A[(1+q)^n-(1+p)^n]/(q-p) （这个化简的公式应该学过的吧！x^n-y^n=(x-y)*(...),其中q-p=(1+q)-(1+p)）
2、若q=p,可以化简为b(n)=A*n*[(1+q)^(n-1))]
b(0)=0;b(1)=A
b(2)=A(1+q)+A(1+p)
b(3)=A(1+q)^2+A(1+q)(1+p)+A(1+p)^2
...
假设：
b(n)=A(1+q)^(n-1)+A(1+q)^(n-2)*(1+p)+...+A(1+q)(1+p)^(n-2)+A(1+p)^(n-1)
数学归纳法证明
B(0)=0
B(n)=A((1+q)^(n-1))/(1+p)+A(1+p)(1+q)^(n-2)+……+A(1+q)((1+p)^(n-2))+A(1+p)^(n-1) （n>0） (多项式共n项)