查人人中国名人网如此生活体验店:一道高二数学题，乱说话的勿入
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/05/01 08:54:01
求证：1/2!+2/3!+3/4!+......+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!
证明：
令Sn=1-1/(n+1)!为数列{an}的前n项和
Sn+1=1-1/(n+2)!——①
Sn=1-1/(n+1)!——②
①-②：an+1=1/(n+1)!-1/(n+2)=(n+1)/(n+2)!
则 an=n/(n+1)!(n=1,2,3…)；
令左边各项1/2！，2/3！，3/4!,…,n/(n+1)!为数列{bn}
故左边为{bn}的前n项和
则 bn=n/(n+1)!(n=1,2,3…);
∴an= bn
∴{bn}与{an}相同
故Sn亦为{bn}的前n项和，即左边=Sn
即1/2!+2/3!+3/4!+…+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!
故原等式成立
这是最有思想的解法，你们自己看看有这个方法好吗？
此后再出现的解答均视为无效，之前的各种方法没有我满意的！所有说采取归纳法的都没好好看题，这道题那样解并无可用之处，keary_hack的解法虽然与这个道理相同，但毕竟有很多漏洞，还望keary_hack看后可以找到自己的不足。另外还有一种方法是裂项求和法，虽然方法比较简便但并不如这种方法有思想。
证明：
令Sn=1-1/(n+1)!为数列{an}的前n项和
Sn+1=1-1/(n+2)!——①
Sn=1-1/(n+1)!——②
①-②：an+1=1/(n+1)!-1/(n+2)=(n+1)/(n+2)!
则 an=n/(n+1)!(n=1,2,3…)；
令左边各项1/2！，2/3！，3/4!,…,n/(n+1)!为数列{bn}
故左边为{bn}的前n项和
则 bn=n/(n+1)!(n=1,2,3…);
∴an= bn
∴{bn}与{an}相同
故Sn亦为{bn}的前n项和，即左边=Sn
即1/2!+2/3!+3/4!+…+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!
故原等式成立
这是最有思想的解法，你们自己看看有这个方法好吗？
此后再出现的解答均视为无效，之前的各种方法没有我满意的！所有说采取归纳法的都没好好看题，这道题那样解并无可用之处，keary_hack的解法虽然与这个道理相同，但毕竟有很多漏洞，还望keary_hack看后可以找到自己的不足。另外还有一种方法是裂项求和法，虽然方法比较简便但并不如这种方法有思想。
当n=1时，该式成立；
设当n=N时，该式成立，得：1/2!+2/3!+3/4!+......+N/(N+1)!=1-1/(N+1)!
那么当n=N+1时，左边=1/2!+2/3!+3/4!+......+N/(N+1)!＋（N+1)/(N+2)!
=1-1/(N+1)!+(N+1)/(N+2)!
=1-1/(N+1)!+(N+1)/(N+2)(N+1)!
=1-[1-(N+1)/(N+2)]/(N+1)!
=1-1/(N+2)!=右边
所以……
数学归纳法啊
1>当N=1时，1/2=1/2
2>当………………
数学归纳法一下子就出来了
数学归纳法解吧
数学归纳法啊
1>当N=1时，1/2=1/2
2>当………………
数学归纳法阿~很简单~地球人都知道~~~