mate9贴什么膜:关于自然对数的问题

这个不需要证明，因为e就是这么定义的。
当x趋向于无穷的时候
lim（1+1/x）^x=e

也可以认为
当x趋向于0的时候
lim（1+x）^（1/x）=e

不是上面所说的吧,e的定义是:lim(1+1/n)^n=e吧,
证明:先证明lim(1+1/x)^x=e(x->+oo)
设:n=[x],则n<=x<=n+1
所以:[1+1/(n+1)]^n<(1+1/x)^x<(1+1/n)^(n+1)
当x->+oo时,n->+oo,并且,
lim[1+1/(n+1)]^n=lim{[1+1/(n+1)]^(n+1)/[1+1/(n+1)]}=e(n->oo)
lim[1+1/n]^(n+1)=lim(1+1/n)^n(1+1/n)=e,(n->oo)
由夹逼准则立即可得lim(1+1/x)^x=e(x->+oo)
再证明:lim(1+1/x)^x=e(x->-oo)
令t=-x,则当x->-oo时,t->+oo,从而有:
lim(1+1/x)^x(x->-oo)=lim(1-1/t)^(-t)(t->+oo)=lim[t/(t-1)]^t
=lim{[1+1/(t-1)]^(t-1)*[1+1/(t-1)]}(t->+oo)
=e*1=e
这样可以吧,建议借一本高等数学书看看,这里有详细解释!

不是上面所说的吧,e的定义是:lim(1+1/n)^n=e吧,
证明:先证明lim(1+1/x)^x=e(x->+oo)
设:n=[x],则n<=x<=n+1
所以:[1+1/(n+1)]^n<(1+1/x)^x<(1+1/n)^(n+1)
当x->+oo时,n->+oo,并且,
lim[1+1/(n+1)]^n=lim{[1+1/(n+1)]^(n+1)/[1+1/(n+1)]}=e(n->oo)
lim[1+1/n]^(n+1)=lim(1+1/n)^n(1+1/n)=e,(n->oo)
由夹逼准则立即可得lim(1+1/x)^x=e(x->+oo)
再证明:lim(1+1/x)^x=e(x->-oo)
令t=-x,则当x->-oo时,t->+oo,从而有:
lim(1+1/x)^x(x->-oo)=lim(1-1/t)^(-t)(t->+oo)=lim[t/(t-1)]^t
=lim{[1+1/(t-1)]^(t-1)*[1+1/(t-1)]}(t->+oo)
=e*1=e
这样可以吧,建议借一本高等数学书看看,这里有详细解释!

首先，（1+1/x）的x次方是有界的，由牛顿二项式定理，（1+1/x）的x次方=1+x*1/x+1/(2*1)*x(x-1)/x^2+……+1/(n的阶乘)*(n的阶乘)/n^n<3-1/n<3.
然后，（1+1/x）的x次方是递增的，这是很好证明的。根据实数域的完备性，在实数域中单调有界序列有极限，所以证明了（1+1/x）的x次方是有极限的，通常人们将这个序列的极限记为e。因为这个数是欧拉引进的。此数用他名字的首字母表示，来纪念他。e的算法可以利用泰勒公式，一步一步逼近。

首先，（1+1/x）的x次方是有界的，由牛顿二项式定理，（1+1/x）的x次方=1+x*1/x+1/(2*1)*x(x-1)/x^2+……+1/(n的阶乘)*(n的阶乘)/n^n<3-1/n<3.
然后，（1+1/x）的x次方是递增的，这是很好证明的。根据实数域的完备性，在实数域中单调有界序列有极限，所以证明了（1+1/x）的x次方是有极限的，通常人们将这个序列的极限记为e。因为这个数是欧拉引进的。此数用他名字的首字母表示，来纪念他。e的算法可以利用泰勒公式，一步一步逼近。