查人人中国名人网pf保温棉:平方差问题
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/05/11 04:27:54
1.2.3.…98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是多少，为什么？
(a+b)(a-b)=N
1、N是奇数，能满足条件。共有49个。
（设N=2K+1,A+B=2K+1,A-B=1,A=K+1,B=K)
2、若N能被4整除，能满足条件。 共有24个。
（设N=4K=2*2K，A+B=2K，A-B=2，A=K+1，B=K-1）
3、若N是不能被4整除的偶数，则无法满足条件。 共有25个。
（设N=4K+2=2（2K+1），只能表示为偶数*奇数，由于A+B和A-B只能同为奇数或同为偶数，所以不满足条件）。
所以，满足条件的数有73个。
（若B不能等于0，则1、4不满足条件，有71个。）
这个问题好绕~~~
解：设这两个整数分别为a，b，依题意有
K=a^2-b^2=(a+b)(a-b)
由于a，b为整数，那么(a+b)与(a-b)的奇偶性相同，即同为奇或同为偶。且二者为一大一小，不会相等，根据以上分析，得
（1）所有的奇数除1之外，都符合要求，因为奇数总可以表示为其本身与1的乘积，同为奇，且一大一小，符合以上条件，在1至98中，奇数有98/2=49个，符合条件(1除外)的有49-1=48个；
（2）对于偶数K，它必须能分解成两个偶数的乘积，才有可能表示成两个整数的平方差的形式。即(a+b)与(a-b)都是偶数，所以K必定是4的倍数，在1至98当中4的倍数有98/4=24余2，即有24个，但其中的4只能分解为2X2的形式，此时出现(a+b)与(a-b）相等，不符合要求，所以符合要求的偶数个数有24-1=23个。
综上，能够表示成两个整数的平方差的个数是48+23=71个