查人人中国名人网深圳市上达电子:请帮忙解两道数学题。
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/05/03 06:09:08
1. 设m^4+n^4+p^4+t^4=4mnpt (m、n、p、t均为正数)，求证：m=n=p=t.
(注：m^4为m的4次方)
2. a、b、c、d是四个任意给定的整数，求证：以下六个差数：b-a，c-a，d-a，c-b，d-b，d-c的积一定可以被12整除。
(注：m^4为m的4次方)
2. a、b、c、d是四个任意给定的整数，求证：以下六个差数：b-a，c-a，d-a，c-b，d-b，d-c的积一定可以被12整除。
1、因为m^4+n^4+p^4+t^4-4mnpt
=(m^2-n^2)^2+(p^2-t^2)^2+2(mn-pt)^2=0
所以 m^2=n^2 ，p^2=t^2 ，mn=pt
而由于m,n,p,t都是正数
所以m=n=p=t
2、如果a、b、c、d中至少有两个数相等，则6个差数中必有一个等于0，
则6个差数的积等于0，能被12整除。
当a、b、c、d两两不相等时，根据抽屉原理，则至少有两个数的奇、偶性相同，则6个差数中至少有2个偶数，所以6个差数的积能被4整除，
由于6个差数也两两不相等，假设6个差数都不能被3整除，则6个差数都只能写成3k+1或3k+2的形式，根据抽屉原理，至少有3个数能表达成其中的一种，而这3个数两两相减，则必定有一个差数（显然这个新的差数被3整除）和原来的6个差数中的一个形式一样，这与假设矛盾，所以必定有1个是3的倍数，所以6个差数的积能被12整除。（这里举个例子：假设b-a，c-a，d-a都能写成3k+1的形式，则(c-a)-(b-a)能被3整除，(c-a)-(b-a)=c-b，则c-b能被3整除，这与假设的6个差数都不能被3整除矛盾）