查人人中国名人网临桂派出所电话:问道数学题(高二不等式)
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/05/10 02:23:42
设三角形三边a,b,c满足a^2+b^2=c^2
当n大于等于三时，求证：a^n+b^n小于c的n次
当n大于等于三时，求证：a^n+b^n小于c的n次
因为是三角形 又满足a^2+b^2=c^2
所以为直角三角形
所以角c为90
用正弦定理
a/sina=b/sinb=c/sinc=r
将此式带入要求正的不等式中变为证明
sina^n+sinb^n<sinc^n
又因为c=90
所以为证明sina^n+sinb^n<1
因为sina^2+cosa^2=1
b=90-a
sinb=sin(90-a)=cosa
将此几式带入要证明的式子中
既证
sina^n+cosa^n<sina^2+cosa^2
整理
得(sina^2-sina^n)+(cosa^2-cosa^n)>0
因为0<a<90
所以0<sina<1,0<cosa<1
而n大于等于三
所以sina^2>sina^n,cosa^2>cosa^n
两式项加 移项 得证
由题意，知0<a/c<1,0<b/c<1
所以(a^2/c^2)*(a/c)^(n-2)<a^2/c^2,(n>=3),
(b^2/c^2)*(b/c)^(n-2)<b^2/c^2,(n>=3).
即：a^n/c^n+b^n/c^n<a^2/c^2+b^2/c^2=1
所以a^n+b^n<c^n