查人人中国名人网男孩子学古筝好吗:X^Y=Y^X,x,y都是整数，将解用参数k表达出来
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/04/29 17:39:19
有一定难度
蛮费神费力的
分情况讨论：
1、当x=y时，只要它们不为0（因为0^0无意义）便有
x^y=y^x
2、当x不等于y时，
A、若x,y异号，不妨设x正,y负，则
0<x^y=1/(x^(-y))≤1
但|y^x|=|y|^x≥1
故必须要有y^x=x^y=1
注意到x为正整数，故x只能为1，推得y也只能1
这矛盾于x,y异号
B、若x,y同为负数，由x^y=y^x我们知道
若x为偶数，则y^x为正，那么x^y也要为正，y只能
为偶数
同理若x为奇数，y也只能为奇数
即x,y奇偶性总相同
那么x^y=y^x就等价于(-x)^(-y)=(-y)^(-x)
其中-x,-y为正数，那么现在问题化为了在正整数范
围内解x^y=y^x
C、当x,y为正整数时，若要x^y=y^x
两边取自然对数得
ylnx=xlny
移项得lnx/x=lny/y
考虑函数f(t)=lnt/t
其导数（求导理解吗？目的是探求单调性）
为f'(t)=(1-lnt)/t^2
当t≥3>e时总有f'(t)<0，即有f(t)在[3,+无穷]上
严格单调递减
因此，若x,y≥3，由lnx/x=lny/y（即f(x)=f(y)）
且f(t)递减知必须有x=y
若x,y至少有一个小于3，不妨设x小于3
那么当x=1时，必推得y=1
当x=2时，由2^y=y^2易知，当y不小于5时，
2^y将远远大于y^2
故1≤y≤4，经检验只有y=2,4符合题意
综上，答案为
x=y=k(k不为0)
或
x=2,y=4
或
x=-2,y=-4
或
x=4,y=2
或
x=-2,y=-4
楼上的,厉害啊