我的世界0.15开挂软件:高分数学问题
来源:百度文库 编辑:查人人中国名人网 时间:2024/05/13 07:16:50
最低要求 要有简单步骤
这是一个有两条边平行的四边形,即梯形。
证明如下。
不妨设题目中的两条对边分别为a、c,对角线为b。
又设a、b的夹角为α
再设c、b的夹角为β
于是,凸四边形的面积为:
S=0.5*a*b*sinα+0.5*b*c*sinβ
由于sinα和sinβ的最大值为1,故:
S≤0.5(a*b+b*c),等号仅当α和β均为90度时成立,此时a和c均垂直于b,即a、c互相平行。
设M=0.5*(a*b+b*c)
把b提出,有:M=0.5*b*(a+c)
根据不等式:p*q≤[(p+q)/2]^2,有:
M=0.5*b*(a+c)≤0.5*[(b+a+c)/2]^2=0.5*(16/2)^2=32
等号当且仅当:b=a+c时成立。
综上述,S≤M≤32
现在有S=32,即上面的不等式两个等号都同时成立了,就必然要有:
1、α和β均为90度,此时a和c均垂直于b,即a、c互相平行。
2、b=a+c
根据第二个条件,有b=8,a+c=8
设另一条对角线为d,则根据条件1,必有几何关系:
d^2=b^2+(a+c)^2=64+64=128
故另一条对角线d长度为8*√2
这是第十八届国际数学奥林匹克竞赛的第一题.设四边行是ABCD,对角线AC与两对边AB,CD的和为16cm,
再设:AC=a,AB=b,CD=c,∠BAC=α,∠ACD=β
则,a+b+c=16,
四边形ABCD的面积=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积
即32=(1/2)absinα+(1/2)acsinβ
∵0<sinα≤1,0<sinβ≤1
∴64≤a(b+c),
∴64≤a(16-a),
∴(a-8)^2≤0
而(a-8)^2≥0
∴a-8=0
∴a=8
∴b+c=8
∴sinα=sinβ=1
∴α=β=90度
∴AB‖CD
即,四边形ABCD是梯形
延长BA到E点,使AE=CD在Rt△BDE中
BD^2=BE^2+ED^2=(AB+AE)^2+AC^2
=(b+c)^2+a^2=8^2+8^2=2*64(cm)
∴BD=8√2cm
上面的解答假设了梯形,尽管结果是对的,但是并不严谨。
正确解法如下。
假设四边形是ABCD,AB+AC+CD=16
那么32=[ABCD]=[ABC]+[ACD]=1/2*AB*AC*sin(BAC)+1/2*AC*CD*sin(CAD)
<=1/2*AB*AC+1/2*AC*CD (根据sin <= 1)
=1/2*AC*(AB+CD)
<=1/2*( (AC+AB+CD)/2)^2 (根据平均不等式)
=1/2*(16/2)^2=32
于是每个等号必须都取到
于是角BAC=CAD=90度,并且AB+CD=AC
那么就有AB+CD=AC=8,那么就不难得到AC=8根号2
这是标准答案,2003年全国初中数学联合竞赛的压轴题吧。
这是一个有两条边平行的四边形,即梯形。
证明如下。
不妨设题目中的两条对边分别为a、c,对角线为b。
又设a、b的夹角为α
再设c、b的夹角为β
于是,凸四边形的面积为:
S=0.5*a*b*sinα+0.5*b*c*sinβ
由于sinα和sinβ的最大值为1,故:
S≤0.5(a*b+b*c),等号仅当α和β均为90度时成立,此时a和c均垂直于b,即a、c互相平行。
设M=0.5*(a*b+b*c)
把b提出,有:M=0.5*b*(a+c)
根据不等式:p*q≤[(p+q)/2]^2,有:
M=0.5*b*(a+c)≤0.5*[(b+a+c)/2]^2=0.5*(16/2)^2=32
等号当且仅当:b=a+c时成立。
综上述,S≤M≤32
现在有S=32,即上面的不等式两个等号都同时成立了,就必然要有:
1、α和β均为90度,此时a和c均垂直于b,即a、c互相平行。
2、b=a+c
根据第二个条件,有b=8,a+c=8
设另一条对角线为d,则根据条件1,必有几何关系:
d^2=b^2+(a+c)^2=64+64=128
故另一条对角线d长度为8*√2
猜想是梯形 自己花图。
设
梯形ABCD中,AD‖BC,BD⊥BC.设AD=x,BC=y,DB=z,由题得:x+y+z=16,
面积32
解得x+y=8,z=8,
过D作DE‖AC交BC的延长线于E.
∴四边形ADEC是平行四边形
∴DE=AC,AD=CE.(将“上底+下底”转化到一条线段上)
在Rt△DBE中,∠DBE=90°,BE=BC+CE=x+y=8,BD=8,
根据勾股定理得 ,
∵AC=DE,
AC=8根号2
这是第十八届国际数学奥林匹克竞赛的第一题.设四边行是ABCD,对角线AC与两对边AB,CD的和为16cm,
再设:AC=a,AB=b,CD=c,∠BAC=α,∠ACD=β
则,a+b+c=16,
四边形ABCD的面积=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积
即32=(1/2)absinα+(1/2)acsinβ
∵0<sinα≤1,0<sinβ≤1
∴64≤a(b+c),
∴64≤a(16-a),
∴(a-8)^2≤0
而(a-8)^2≥0
∴a-8=0
∴a=8
∴b+c=8
∴sinα=sinβ=1
∴α=β=90度
∴AB‖CD
即,四边形ABCD是梯形
延长BA到E点,使AE=CD在Rt△BDE中
BD^2=BE^2+ED^2=(AB+AE)^2+AC^2
=(b+c)^2+a^2=8^2+8^2=2*64(cm)
∴BD=8√2cm