2016城堡争霸英雄大全:已知函数f(x)=log0.5 (1-1/2^x),证明函数f(x)的图象关于直线y=x对称

证明:
取该函数图象上一点P1(X0,Y0),可得:
y0=log0.5 (1-1/2^x0)..........(1)
设点P2(X1,Y1)是与(X0,Y0)关于直线y=x对称的点,只需要证到P2也在所给的函数图象上就可以了.
由于P1,P2关于直线y=x对称,所以:
P1,P2的中点在y=x上,即:
(X0+X1)/2=(Y1+Y2)/2.........(2)
直线P1P2的斜率为-1,即:
(Y1-Y0)/(X1-X0)=-1...........(3)
由(2)和(3)可以得到:
X1=Y0,Y1=X0..................(4)
将(1)和(4)带入所给函数中,得到:
Y1=log0.5 (1-1/2^X1)
=log0.5 (1-1/2^Y0)
=log0.5 (1-1/2^)log0.5 (1-1/2^X0)
=X0........................(5)
对比(4)和(5)就可以得出结论.

f(x)=log0.5 (1-1/2^x)=log0.5[(2^x-1)/2^x]
=log0.5(2^x-1)-log0.5(2^x)
=log0.5(2^x-1)-log0.5[(1/2)^(-x)]
=log0.5(2^x-1)+x
容易证明y=x是奇函数
又f(-x)=log0.5(2^（-x）-1)
=log0.5[1/2^(x)-1]
=-log0.5 (1-1/2^x)=-f(x)即也是奇函数
所以f(x)是奇函数
所以关于y=x对称

原函数可化为y=(log0.5 1)/x,可看出此函数关于y=x对称。

关于直线y=x对称即x=f(f(x))

正规的解法应该是:f(x)的反函数与原函数是一样的，所以结论成立。

我认为这个基本正确，写的还行。

证明:
取该函数图象上一点P1(X0,Y0),可得:
y0=log0.5 (1-1/2^x0)..........(1)
设点P2(X1,Y1)是与(X0,Y0)关于直线y=x对称的点,只需要证到P2也在所给的函数图象上就可以了.
由于P1,P2关于直线y=x对称,所以:
P1,P2的中点在y=x上,即:
(X0+X1)/2=(Y1+Y2)/2.........(2)
直线P1P2的斜率为-1,即:
(Y1-Y0)/(X1-X0)=-1...........(3)
由(2)和(3)可以得到:
X1=Y0,Y1=X0..................(4)
将(1)和(4)带入所给函数中,得到:
Y1=log0.5 (1-1/2^X1)
=log0.5 (1-1/2^Y0)
=log0.5 (1-1/2^)log0.5 (1-1/2^X0)
=X0........................(5)
对比(4)和(5)就可以得出结论.
回答者：zhangyuan001 - 魔法学徒 一级 1-24 18:12