查人人中国名人网德语我想你了怎么说:梯形面积和对角线长有何关系？
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/04/29 22:46:41
以这样一道题
若梯形的两底长分别为4和9，两条对角线长分别为5和12，求梯形面积
最后用很复杂的方法求出面积为30
正好等于对角线与两底长度之和
是巧合吗？
若梯形的两底长分别为4和9，两条对角线长分别为5和12，求梯形面积
最后用很复杂的方法求出面积为30
正好等于对角线与两底长度之和
是巧合吗？
这本来是很有趣的一题 但是你的猜想思路不正确
"两底长分别为4和9" 那么两底之和是13
而两条对角线长分别为5和12. 5 12 13恰好是直角三角形的三边.又应当注意到30=5*12/2即该直角三角形的面积
于是应该这样猜想:
求该梯形的面积是否可以转换为求这样一个直角三角形的面积呢?(你说"最后用很复杂的方法"我确信你没有想到下面的做法)
答案是肯定的.证明如下:(图可自己完成)
梯形ABCD中,AB=4 CD=9 BD=5 AC=12
过A作对角线BD的平行线 交CD延长线于E
易知ABDE为平行四边形 故Sabd=Sade (S表示面积)
而因为AB||CD 则 Sbcd=Sacd
所以 Sabcd=Sabd+Sbcd=Sade+Sacd=Sace;
而由AE=BD=5 AC=12 CE=CD+ED=13 可知三角形ACE为直角三角形
故 Sabcd=Sace=12*5/2=30
梯形面积等于对角线之积乘以对角线夹角正弦的一半。
事实上，任意四边形的面积都等于对角线之积乘以对角线夹角正弦的一半。
如果两条对角线互相垂直
面积就等于对角线乘积的一半.
其他的和对角线的长及夹角有关系,比较复杂.