查人人中国名人网天津市一品农庄食品厂:平面上16个点，求两点间最大距离与最小距离的比的最小值
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/04/28 15:36:51
论证似乎有点不太充分（“将16个点组成的图形占据的最小面积认为是14个单位的等边三角形”是不对的，如果点在一直线上，则面积为0），但分还是给你，谢谢了！
麻烦再进一步思考。
这道题有难度~~
只做出了x>2.93的近似解，离x>3还有一点点
不过我觉得我的思路应该是对的，从覆盖面积来考虑
先贴出来，但愿也能给楼主一些启发
等有空了再来研究
恩，x>3的解求得了，附在最后
假设这16个点中，距离最远的是点a,b，它们之间的距离为x
离a点或b点，距离其次远的点为c,有ac<x,bc<x
以ab为底边，可作出两个边长为x的等边三角形，设顶点分别为d,e，设与c在ab边同侧的点为d，则必有dc<x
下面考虑abd三个点
分别以a,b,d为圆心，x为半径，做弧，三段60度的弧围成一个图形
易证所有这16个点都在这个图形内或弧上（否则它们距离a点或b点的距离就大于x，与最大距离是x矛盾）
这个图形的面积是
(3.14/6-1.73/4)*3*x^2+1.73/4*x^2=0.705*x^2
（打公式不方便，就用了近似值，pi=3.14,根号3=1.73，x^2表示x的平方）
假设最近的两个点的距离为1，则三个点占据的面积至少为一个边长为1的等边三角形，即1.73/4，以后每增加一个点，它们占据的面积都将增加一个单位等边三角形，因此16个点占据的面积至少为14个单位等边三角形，即1.73/4*14=6.055
而这些点又都在我们前面所说的三段弧围成的图形abd中
因此有 0.705*x^2>=6.055
解得x>2.93
进一步：
前面我们将16个点组成的图形占据的最小面积认为是14个单位的等边三角形，但事实上，应该至少为，这14个等边三角形组成的图形，其最外层的单位边长都相应的修正为半径为1的60度的弧（向外）
通过作图，我们可知14个等边三角形组成的图形，最外围至少有10个单位边，因此16个点组成的组成的图形占据的最小面积，为
1.73/4*14+(3.14/6-1.73/4)*10=6.96
因此0.705*x^2>=6.96
x>3.14