自驾游俱乐部赢利点:高二数学元旦练习。

存在

先证明引理：
在区间〖1，p-1〗上是每个n,n^(p-1)-1都被p整除

因为1-1被p整除
所以不妨设当n≤k时引理成立
当n=k+1时
(k+1)^(p-1)-1能被p整除<=>(k+1)^p-1-k能被p整除
(k+1)^p-1-k=k^p+pC1k^(p-1)+............pC(p-1)k+pCp-k-1=k(k^(p-1)-1)+pC1k^(p-1)+............pC(p-1)k
而pCm(m≠0 P)=p(p-1)(p-2).....(p+1-m)/(1*2*3*4*.......m)
因为p是质数所以pCm能被p整除
所以引理成立

在区间〖1，p-1〗上
(p-n)^(p-1)-1=p^(p-1)-................-(p-1)C(p-2)*p*n^(p-2)+n^(p-1)-1
与p*n^(p-2)+n^(p-1)-1关于p^2同余 所以(p-n)^(p-1)-1 与 n^(p-1)-1至多有一个能被p^2整除
因为1-1被p^2整除
所以(p-1)^(p-1)-1不被p^2整除
若假设命题不成立
则(p-2)^(p-1)-1被p^2整除
则p*2^(p-2)+2^(p-1)-1被p^2整除
因为p是质数
所以p*2^(p-2)+2^(p-1)-1被p^2整除<=>p*2^(p-1)+2^p-2被p^2整除
又因为p*2^(p-1)+2^p-2=p*(2^(p-1)-1)+p+2^p-2
根据引理知p*(2^(p-1)-1)被p^2整除
所以(p-2)^(p-1)-1被p^2整除<=>p+2^p-2被p^2整除

又因为命题不成立
所以((p+1)/2)^(p-1)-1与 ((p-1)/2)^(p-1)-1至少有一个被p^2整除
而((p+1)/2)^(p-1)-1=((p+1)^(p-1)-2^(p-1))/2^(p-1)
因为p是质数
所以((p+1)/2)^(p-1)-1被p^2整除<=>(p+1)^(p-1)-2^(p-1) 被p^2整除
(p+1)^(p-1)-2^(p-1)=p^(p-1)+.....................+(p-1)p+1-2^(p-1)
所以
((p+1)/2)^(p-1)-1被p^2整除<=>1-2^(p-1)-p被p^2整除
同理
((p-1)/2)^(p-1)-1被p^2整除<=>1-2^(p-1)+p被p^2整除

而
2-2^p-p
2-2^p-2p
2-2^p+2p
至多有一个 被p^2整除(由于p>3)
所以得出矛盾
所以命题成立
所以存在

存在,
取p=5,
在区间[1,3]上,取n=2,则
n^(p-1)-1=2^4-1=15,
（n+1)^(p-1)-1=3^4-1=80,
而p^2=25,18,80都不能被25整除
所以 : 在区间〖1，p-2〗上存在整数n,使得n^(p-1)-1与（n+1)^(p-1)-1都不能被p^2整除

写起来太麻烦了。。提示取n=(p-1)/2;

还有 n^(p-1)-1与（p-n)^(p-1)-1除以p^2的余数相同。当n=2,3,4,5,6,......p-2.时

那么你去n=(p-1)/2;证明一下他们都不能被p^2整除。。
可以用反证法。。

存在,
取p=5,
在区间[1,3]上,取n=2,则
n^(p-1)-1=2^4-1=15,
（n+1)^(p-1)-1=3^4-1=80,
而p^2=25,18,80都不能被25整除
所以 : 在区间〖1，p-2〗上存在整数n,使得n^(p-1)-1与（n+1)^(p-1)-1都不能被p^2整除

^是平方的意思吗？