查人人中国名人网新中式地面铺装:化简ln N!
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/04/28 04:31:11
或者证明
S = k[ ln （150！）－ ln （N1！） － ln （N2！）－ ln （N3！）－ ln （N4！）－ ln （N5！）]
N1∈[0，150]
N2∈[0，150]
N3∈[0，150]
N4∈[0，150]
N5∈[0，150]
N1 + N2 + N3 + N4 + N5 = 150；
中S极值是N1=N2=N3=N4=N5=30时取得~~
ln(x)跟x的单调性是一致的，x大的时候，ln(x)的值也大，所以上面的题目跟下面这个题目是一样的：
N是m的倍数，N/m=k，n1+n2+...+nm=N
N!/(n1! n2!...nm!)在(n1=n2=...=nm=N/m)时最大，也就是n1!*n2!...*nm!在(n1=n2=...=nm=N/m)时最小。把n1,n2...nm写成k+i和k-j的形式(k=N/m)，再把n1!*n2!...*nm!写成(k!)的m次方乘以一个分式，就可以看出，当(n1=n2=...=nm=N/m)时n1!*n2!...*nm!最小。
加个注：分式的形式为：
(k+1)...(k+i1)...(k+1)...(k+ia)/(k-1)...(k-j1+1)...(k-1)...(k-jb+1)
其中，i1+i2+...+ia=j1+j2+...+jb,所以分子分母的项数一样多，可以看到，当i1=...=ia=j1=...=jb=0时，这个式子最小，等于1。
ln N!在楼主所需解决的问题中无法化简，因为并不满足斯特林公式中N>>1的要求。
楼主的问题是一个条件极值问题，应该是热学里面求将一个系统分解成5个系统之后熵的变化的极值。高数里面有过条件极值的求法，不过那个要用到lnN！的偏微分，似乎在这里不大好用。alphabeta说的这个方法实际上是将问题转化为了j1+j2+j3+j4+j5=0,求j1!j2!j3!j4!j5!的极值（负数的阶乘认为是其绝对值阶乘的倒数），也并不是很容易看出来的事情吧。
lnN!=NlnN - N
由striling 公式
N!= (N/e)^N sqr(2N*pi)(1+1/12n + 1/228N^2 ……)
所以
lnN！= NlnN - n +0.5ln(2N*pi)
如果N》1
则忽略最后一项
lnN!=NlnN-N