六扇门电影系列:两道数学题

1.(x*x+2x+1)-(4y*y+4y+1)=(x+1)^2-(2y+1)^2=(x+1+2y+1)(x+1-2y-1)=(x+2y+2)(x-2y)
2.a^3-a=a(a+1)(a-1),a-1,a,a+1这三个数可以同时分别被1、2、3这三个数整除，故a(a+1)(a-1)可以被1*2*3=6整除

1) （x+1)^2-(2y+1)^2
=[(x+1)+(2y+1)][(x+1)-(2y+1)]
=(x+2y+2)(x-2y)

=x^2-4y^2+2x-4y
=(x+2y)(x-2y)+2(x-2y)
=(x-2y)(x+2y-2)

a^3-a=a(a-1)(a+1)
6=2x3 a+a+1+a-1=3a
3a/3=a
a a+1 a-1 必有一个是偶数
所以能被2整除
所以a^3-a能被6整除

(1) (x+1)^2-(2y+1)^2=(x+1-2y-1)(x+1+2y+1)=(x-2y)(x+2y+2)

(2)证明:a^3-a=a(a-1)(a+1)
因为 a 、a-1、a+1为连续整数
既是a、a-1、a+1中有两数为2和3的倍数
而6=3*2
所以a^3-a能被6整除

..................................

(x-2y)(x+2y+2)
要a>1
分解因式：
（a+1）a(a-1)
而6=3*2
原式为3个连续整数相乘
故能被6整除

①分解因式:
x^2+2x-4y^2-4y
=(x^2-4y^2)+(2x-4y)
=(x+2y)(x-2y)+2(x-2y)
=(x+2y+2)(x-2y)
②证明：若a是整数，则a^3-a能被6整除
a^3-a
=a(a^2-1)
=a(a+1)(a-1)
(1)若a=3k
a^3-a=3k(3k+1)(3k-1)
如果k为偶数，3k能被6整除，则a^3-a能被6整除。
如果k为奇数，3k能被3整除，3k+1为偶数能被2整除，则a^3-a能被6整除。
(2)若a=3k+1
a^3-a=(3k+1)(3k+2)*3k
讨论同(1)。
(3)若a=3k+2
a^3-a=(3k+2)(3k+3)(3k+1)
讨论同(1)。

总之，若a是整数，则a^3-a能被6整除。