查人人中国名人网新精武门2高清下载:几何问题
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证在三角形ABC内 sin<A+sin<B+sin<C > cos<A+cos<B+cos<C
解:
将原式子左边减右边得到:
sin<A+sin<B+sin<C -cos<A-cos<B-cos<C
=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+2sin[(A+B)/2]*cos[(A+B)/2]-cosA-cosB+1-2sin^2[(A+B)/2]
=[2sin[(A+B)/2-1]*(cosA+cosB)-2sin^2[(A+B)/2]+1
因为其为锐角三角形,所以cosA+cosB>0,
90-A<B<180-A,根号2>cosA+cosB>cosA+sinA>1
90<A+B<180,
45<(A+B)/2<90
sin[(A+B)/2]的范围为((根号2)/2,1)
=>{2sin[(A+B)/2]-1}>0,-1<-2sin^2[(A+B)/2]+1<0,
综上原式>0
所以原式sin<A+sin<B+sin<C > cos<A+cos<B+cos<C成立
注:此三角形为锐角三角形
sin<A+sin<B+sin<C > cos<A+cos<B+cos<C
<=>
sin<A+sin<B+sin<C -( cos<A+cos<B+cos<C)>0
<=>
sin(A-45)+sin(B-45)+sin(C-45)>0
若A B C都大于45
则成立
若只有一个小于45
设是A
又因为B C必有一个<90
设是B
sinx是增函数（锐角）
A+C>90
=>
C-45>45-A
=>sin(C-45)>sin(45-A)
=>
-sin(45-A)+sin(C-45)>sin(45-A)+sin(A-45)=0
若有两个小于45
即是钝角三角形时
因为sin170+sin5+sin5<cos170+cos5+cos5
所以不成立