查人人中国名人网中国注册志愿者网站:高二关于椭圆的数学题
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/04/30 12:45:03
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，连接它的四个顶点得到的四边形的面积是4根号2，分别连接椭圆上的一点p（顶点除外）和椭圆的四个顶点，连得线段所在四条直线的斜率的乘积为1/4，求这个椭圆的标准方程。 过程尽量具体，谢谢！
设这个椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
则四个顶点为（0,b）（0,-b）（a,0）（-a,0）
所以四个顶点所组成四边形的面积为2ab=4根号2，ab=2根号2
因为椭圆上任一点到四点的斜率积都相同，所以取椭圆上一点（a/2,b根号3/2）就行了。
则这点到四个顶点的斜率分别为（根号3b/a）（根号3b/3a）((2+根号3)b/a)((2-根号3)b/a)
积为b^4/a^4=1/4
所以b^2/a^2=1/2
因为ab=2根号2
解得a^2=4，b^2=2
所以标准方程为x^2/4+y^2/2=1
因为面积等于4根2
所以4ab=4根2，即ab=2根2..........*
设p(x,y),椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1.......**
则有：斜率k1=(y-b)/x
k2=y/(x-a)
k3=(y+b)/x
k4=y/(x+a)
所以k1k2k3k4=1/4.........***
代入，整理。
由**可得：y^2-b^2=b^2x^2/a^2
所以标准方程为x^2/4+y^2/2=1
x^2-a^2=a^2y^2/b^2
代入***，再与*联立，解得a=2,b=根2
对不起，太烦，太难，太……