什么叫恋人关系的解释:已知四边形ABCD，AB‖CD，且AB+BC=CD+AD，求证：四边形ABCD为平行四边形

来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/04/30 05:00:35
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D C
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A B

首先有三角形CAB相似于三角形BDC
也就有AB:DC=CB:BC
令CB=xAB 则有BC=xDC
代入 AB+xAB=CD+xCD
有AB=CD 又AB平行于CD
得证

证明:
用反证法
假设ABCD不是平行四边形，由题设知，AB平行于CD，因此，由平行四边形性质可知，AD必不平行于BC
那么，可作BE平行于AD，交DC或DC延长线于E
由平行四边形性质可知
AB+BE=ED+AD,而ED=CD+CE(E点在CD延长线上)或ED=CD-CE(E点在CD延长线上)
带入即得AB+BE=CD+CE+AD或AB+BE=CD-CE+AD
又因为AB+BC=CD+AD，带入得
所以AB+BE=AB+BC+CE 或AB+BE=AB+BC-CE
等式两端同时减去AB得，BE=BC+CE或BE=BC-CE
即在三角形BCE中，BE=BC+CE或BE=BC-CE
这与三角形两边之和大于第三边及两边之和小于第三边的性质相矛盾
因此假设不成立。
所以四边形ABCD是平行四边形，命题得正。

除此之外，我没想到什么好证法！

连接AC和BD相交于O
因为AB//CD，容易证明三角形ABO相似于三角形CDO

在AB边上截取BF=BC在CD边上截取DE=AD
则四边形AECF为平行四边形证明三角形AED三角形BFC全等
则四边形ABCD为平行四边形

D ———— C
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A ———— B

已知四边形ABCD，AB‖CD，且AB+BC=CD+AD，求证：四边形ABCD为平行四边形 证明题：在四边形ABCD中,AB‖DC,且AB+AD=CD+BC,求证:AD=BC. 已知四边形ABCD，求证：AC×BD≤AB×CD＋AD×BC 一个凸四边形ABCD的四条边长为abcd且a2+ab-ac-bc=0,b2+bc-bd-cd=0那么四边形ABCD是什么图形? 已知圆内接四边形ABCD的边长分别是AB=2 BC=6 CD=DA=4求四边形ABCD的面积 四边形ABCD中,AB//CD,对角线AC.BD交于E,交CD于F,且DE=DF,求证:ABCD是平行四边形. 已知:空间四边形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,求证:四边形 已知四边形ABCD中,∠A=60度,∠C=120度,AB=CD,若BC=1,CD=3,求AC长 一个凸四边形ABCD的四条边长为abcd且a^2+ab-ac-bc=0,b^2+bc-bd-cd=0那么四边形ABCD是什么图形? 已知梯形ABCD,AB平行于CD,EF分别是AB ,CD的中点,且角D加角C等于90度,证明EF=1/2(CD-AB)