查人人中国名人网太阁立志传4本能寺之变:请帮我解一道题！！
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/05/09 01:53:49
设a、b、c是正整数，且（a、b、c）=1，也就是它们的最大公约数是1。ab+bc=ac
求证：a-b是一完全平方数。
求证：a-b是一完全平方数。
证明：(a+b)c=ab
设a=(a, b)x，b=(a, b)y，则 (x, y)=1，
方程变为 (x+y)c=(a, b)xy
因为(c, (a, b))=(a, b, c)=1，所以c|xy，
设s=(c, x)，t=(c, y)
则 c=st，s|x，t|y，(s, t)=1
x=ms，y=nt
(ms+nt)st=(a, b)msnt
ms+nt=(a, b)mn
m|nt，n|ms，
注意(ms, nt)=(x, y)=1
就得到 m=1，n=1
x+y=(a, b)
所以 a+b=(a, b)^2