沈阳市皮肤医院:一道困扰我很久得几何问题！

　　这个定理最早是英国数学家莫勒（Morley）于1904年发现的。莫勒曾对他的剑桥大学同学提到过这个定理，后来就称这个定理为"莫勒定理"。这个定理莫勒虽然早就发现了，但他一直没有发表，过了20年才在日本正式发表。在这20年中，别的数学家也发现了这个定理。

我写一下用构造法证明的过程：

在任意三角形ABC中，我设x=60+A/3,y=60+B/3,z=60+C/3
那么x+y+z+120=360

好了，现在我们要构造了，我们画一个等边三角形A1B1C1出来，然后我们要按以下步骤构造出等边三角形A1B1C1外的三个三角形A'B1C1,A1B'C1,A1B1C'：
在B1C1边上，往A1的那头做两条与B1C1夹角都为x的射线，这两条射线应该是关于B1C1的中垂线对称的。同样的方法，A1C1边上也做两条与其夹角为y的射线，A1B1边上也两条与其夹角为z的射线。然后，这些射线的交点分别为A'B'C'，三角形A'B1C1,A1B'C1,A1B1C'就构造好了。[天哪，我怎么说得清楚！]
一会儿我们只需要证明三角形A'B'C'与三角形ABC相似，且三角形A'B'C'每个角里面的那两条线都是角的三等份线。

好了，现在角B'A1C1=z吧，角B'C1A1=x吧，那角A1B'C1就等于180-x-z=y-60=B/3；
同理，我就一下写出来了：三角形A'B'C'三个角B1A'C1,A1B'C1,A1C'B1等于A/3,B/3,C/3
延长B'C1和C'B1的交A2，那么A2B1C1是等腰三角形，A2A1是A2（即B'A2C'）的角平分线
而且x+60=角B'C1B1=90+A2/2（这一步用等腰三角形，做垂线，算的出来，自己算）
别忘了这么一个定理：如果三角形中一点O有角BOC=90+A/2，而AO又平分角A，那么O就是三角形ABC的内心（忘了的自己证）
那么 A1就是三角形A2B'C'的内心了 [快了快了]
同理B1,C1就是B2C'A'，C2A'B'的内心了
而角B'A'C1=C1A'B'=B1A'C'=A/3 也即A'=A 还有 B'=B,C'=C
于是得到了ABC,A'B'C'相似 完啦！

累死我了 没说清楚高手指正！
估计还要再修改一下

其他的证明方法都要用三角函数
用三角函数证明的方法太多了，这里只写一种：

[交点情况：AE CE交E
BD CD交D
AF BF交F]
记A=3α，B=3β，C=3γ，AE=m，AF=n，△ABC的三边长为a、b、c．
由于3α+3β+3γ=180°．所以α+β+γ=60°．α+β=60°-γ
而nsin(α+β)=csinβ所以n=csinβ/sin(α+β)=csinβ/sin(60-γ)
类似地m=bsinγ/sin(60-β)
在△ABC中有bsin3γ=csin3β，从而
m/n=(sin3β*sinγ*sin(60-γ))/(sin3γ*sinβ*sin(60-β))
=(sin(60+β))/(sin(60+γ))
由于α+β+γ=60°．所以存在以60°+β，60°+γ和α为内角的三角形，夹α角的两边之比为
(sin(60+β))/(sin(60+γ))=m/n
△EAF与这三角形相似，从而
∠AFE=60°+β
∠AEF=60°+γ
同法可证∠BFD=60°+α，而
∠AFB=180°-(α+β)
因此
∠EFA+∠AFB+∠BFD=(60°+β)+(180°-α-β)+(60°+α)=300°
所以∠DFE=60°．
类似地，△DEF的另两个内角也为60°．
因此△DEF是等边三角形．

题目出错了
任意△ABC的三个角分别做他们的内角3等分线，不一定相邻的线相交在三个点上，D、E、F，因为正三角形就只交于一点

画一个外接圆，利用圆的性质，可以解出来
这是初二的问题耶。
只要一看初二的书，应该就知道了

matrix67
是初中辅导老师吗？挺热心的啊

morley定理，很美妙的~~