查人人中国名人网宝鸡市会展中心地址:一道几何题
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/04/28 11:35:01
在60度角的角XOY边OX.OY上各取点A.B和C.D，使OA=1/2OD,OC=1/2OB,连结BD,取BD中点E，再连结AE.CE.AC.求证：三角形ACE是等边三角形
[img]http://www4.freep.cn/photo_new/2006-8-12/10/200681238008205.JPG[/img]
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分析：
（我认为此题不用找OB、OD的中点，去连结GE、GC、GF、EF、AF，因为这样反而使图形看起来很复杂，只需要连结BC、AD就能得证。）
利用“三角形两边对应成比例，夹角相等，这两个三角形相似”可得△AOC和△DOB相似，根据相似三角形对应边成比例，可得AC=1/2BD.
连结BC、AD后，容易证明到△BCO和△DAO是直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到AE=1/2BD、CE=1/2BD，所以AC=AE=CE,由此得证。
证明：
连结BC、AD。
OC=1/2OB,OA=1/2OD==>OC/OB=OA/OD=1/2==>△AOC∽△DOB==>AC/BD=OA/OD=OC/OB=1/2==>AC=1/2BD。
因为∠XOY=60，OC=1/2OB==>∠BCO=90(只需延长OC到H,使OC=CH，连结BH,△OBH是等边三角形。所以BH垂直OH.证明过程从略)。
因为E是BD中点，所以CE=1/2BD。
同理可证：AE=1/2BD。
所以，AE=CE=AC=1/2BD。
所以△ACE是等边三角形。
纯几何法没有想出来，要证BE=AE，提供一种向量的解法，希望你高中了。
设向量OC=a*向量i,响亮OA=b*向量j,所以向量OB=2a*向量j,向量OD=2B*向量i,E为中点，所以，向量OE=(向量OB+向量OD)/2,然后算向量AC、向量CE、向量AE,证明每个的模相等，要用到i点乘j=1/2,ij各为单位向量。