查人人中国名人网北京国宾酒店附近宾馆:一道高中数学题
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/04/30 00:53:07
在三角形ABC中,AB=AC=a,以BC为边向外做等边三角形BCD,试问顶角A为何值时,四边形ABCD的面积最大?求出最大面积.
答：顶角A=150°时,四边形ABCD的面积最大=（2+√3）*a^2/2
解：
S△ABC=（a^2*sinA）/2
BC=2a*sin（A/2）
[sin（A/2）]^2=（1-cosA）/2
S△BCD=（BC^2*sin60°）/2
={[2a*sin（A/2）]^2*√3/2}/2
=a^2*√3*（sinA/2）^2
=a^2*√3*（1-cosA）/2
S四边形ABCD=S△ABC+S△BCD
=（a^2*sinA）/2+a^2*√3*（1-cosA）/2
=（a^2*sinA-a^2*√3*cosA+a^2*√3）/2
=[a^2*（sinA-√3*cosA）+a^2*√3]/2
设sinA-√3*cosA=M
sinA-M=√{3*[1-（sinA）^2]}
（sinA）^2-2M*sinA+M^2=3*[1-（sinA）^2]
4（sinA）^2-2M*sinA+M^2-3=0......(1)
上方程未知数为sinA的判别式△=（-2M）^2-4*4*（M^2-3）≥0
M^2≤4
M的最大值=2，代入(1),得
4（sinA）^2-4*sinA+2^2-3=0
（2sinA-1）^2=0
sinA=1/2
A=30°或A=150°
但A=30°时，sinA-√3*cosA=1/2-3/2=-1<0，
故取A=150°，sinA-√3*cosA=1/2+3/2=2
即当A=150°时，（sinA-√3*cosA）有最大值=2
因而S四边形ABCD最大值=（a^2*2+a^2*√3）/2=（2+√3）*a^2/2