查人人中国名人网二氧化硅 目数:高二数学
来源：百度文库 编辑：查人人中国名人网 时间：2024/05/02 06:48:51
m,n,x,y∈R,且x的平方＋y的平方＝4，m的的平方＋n的平方＝9,则mx+ny的最大值(换元法)
令x=2sina y=2cosa
m=3sinb y=3cosb
mx+ny=6sinasinb+6cosacosb
=6cos(a-b)
cos(a-b)max=1
(mx+ny)max=6
引理：ac+bd≤√(a2+b2)(c2+d2).（a，b, c，d∈R）
引理证明： (比较法)
(ac＋bd)2－(a2＋b2)(c2＋d2)
＝a2c2＋2abcd＋b2d2－(a2c2＋a2d2＋b2c 2＋b2d2)
＝－(a2d2－2abcd＋b2c 2)
＝－(ad－bc)2≤0(当ad＝bc时取等号)．
∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
回到原题，根据引理，
可知mx+ny≤√(x^2＋y^2)(m^2＋n^2)=√4*9=6
又x=y=根号2,m=n=3/根号2时，mx+ny=6
所以mx+ny的最大值为6