味道鮟鱇鱼肝:一道数学题

答案应该是重心。具体的做法比较复杂。设AP的延长线交BC于D 则BP^2+PC^2>=2PD^2 所以AP^2+BP^2+CP^2 >=AP^2+2PD^2 =(AD-PD)^2+2PD^2 =3PD^2-2AD*PD+AD^2 =3(PD-AD/3)^2+2AD^2/3 当PD=AD/3时有最小值，即AP=2/3*AD 同理,设BP交AC于E,CP交AB于F 则有BP=2/3*BE CP=2/3*CF 所以这正好符合重心的性质。

这题是 重心 没错！

说内心的都回家学习去。
内心只是 PA=PB=PC ，不是PA的平方+PB的平方+PC的平方最小！

重心是3条中线的交点，有3个性质：
1，重心分中线为2：1。
2，重心和3个顶点所围成的3个三角形的面积相等。
3，到三角形3个顶点的距离的平方和为最小的点。！
...................................
PA=PB=PC ，不是PA的平方+PB的平方+PC的平方最小。
例如等腰直角三角形，内心在斜边的中点上，重心在三角形里。
假设直角边=根号2，则内心到3个顶点距离是=1+1+1=3。
而在顶点到3点的距离是=2根号2〈3，
可以知道，内心不是PA的平方+PB的平方+PC的平方最小的点。

证明重心到三角形三个定点的平方和最小~

设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值为 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

所以是重心……

PA^2+PB^2>=2PA*PB((PA-PB)^2>=0)
!!("="只有在PA=PB时才成立！！很关键！！)
同理PB^2+PC^2>=2PB*PC
PA^2+PC^2>=2PA*PC
所以PA^2+PB^2+PC^2>=PA*PB+PB*PC+PA*PC
“=”只有在PA=PB=PC时才成立，也就是有最小值
所以PA=PB=PC
是三角形的内心

遇问题要发现其内在信息，本题“PA的平方+PB的平方+PC的平方最小”即为PA=PB=PC
选D
不过题目有点问题，如果三角形ABC为正三角形，则ABCD都对

重心，它是中线的连线。